ce terme exprime la probabilité de pour gagner la partie au coup Ensuite on multipliera le reste par Le premier terme de ce produit aura pour facteur et, comme l’exposant ne surpasse que de l’exposant de il en résulte que la partie ne peut pas être gagnée par le joueur , au coup ce qui est visible d’ailleurs ; car, si a perdu un jeton dans les premiers coups, il doit, pour gagner la partie, gagner ce jeton plus les jetons du joueur , ce qui exige coups. Mais, si on retranchera du produit son dernier terme, qui exprime la probabilité du joueur pour gagner la partie au coup
On multipliera de nouveau ce second reste par Le premier terme du produit aura pour facteur et, comme l’exposant de y surpasse de celui de ce terme exprimera la probabilité de pour gagner la partie au coup On retranchera pareillement du produit le dernier terme, si l’exposant de y surpasse de celui de
On multipliera de nouveau ce troisième reste par et l’on continuera ces multiplications jusqu’au nombre de fois en retranchant à chaque multiplication le premier terme, si l’exposant de y surpasse de celui de et le dernier terme, si l’exposant de y surpasse de celui de Cela posé, la somme des premiers termes ainsi retranchés sera la probabilité de pour gagner la partie avant ou au coup et la somme des derniers termes retranchés sera la probabilité semblable relative au joueur
Pour avoir une solution analytique du problème, soit la probabilité du joueur pour gagner la partie, lorsqu’il a jetons, et lorsqu’il n’a plus que coups à jouer pour atteindre les coups. Cette probabilité devient, au coup suivant, ou ou suivant que le joueur gagne ou perd le coup ; or les probabilités respectives de ces deux événements sont et on a donc l’équation aux différences partielles
Pour intégrer cette équation, nous considérerons, comme précédemment, une fonction de et de génératrice de en sorte que
