temps les fonctions des variables qui ont pu disparaître dans le premier passage. Ainsi, dans une des questions que nous avons traitées plus haut, l’équation aux différences partielles
donnerait, en remontant simplement des coefficients aux fonctions génératrices, celle-ci
laquelle n’est point exacte ; car il est aisé de voir que, d’après les conditions du problème, il faudrait ajouter au second membre la fonction génératrice de moins cette même fonction multipliée par Cette fonction de , qu’il est nécessaire de rétablir dans le second membre de l’équation pour la compléter, est précisément la fonction arbitraire que nous avons eu à déterminer dans la solution de cette question. En général, les fonctions à ajouter pour avoir encore une équation dans le passage des coefficients aux fonctions génératrices sont les mêmes que les fonctions arbitraires qui forment le numérateur de la fonction génératrice intégrale, avant qu’elle soit développée.
Faute d’avoir égard à ces fonctions, on peut tomber dans des erreurs graves, en se servant de ce moyen pour intégrer les équations aux différences partielles. Par cette même raison, la marche suivie dans la solution des problèmes des no 8 et 10 du Livre II de la Théorie analytique des Probabilités n’est nullement rigoureuse, et semble impliquer contradiction en ce qu’elle établit une liaison entre les variables qui sont et doivent être toujours indépendantes. Sans entrer dans les considérations particulières qui ont pu la faire réussir ici, et qu’il est aisé de saisir, nous allons faire voir que la méthode d’intégration exposée au commencement de ce Supplément s’applique également à ces questions, et les résout avec non moins de simplicité.
Dans le problème du no 8, on se propose de déterminer le sort d’un nombre de joueurs dont représentent les probabilités respectives, c’est-à-dire leurs probabilités pour gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque coups au joueur ,
