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moindre que $n$, on aura

$\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{i+1}}}=(-1)^{r+1}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dxc^{-x}{\frac {\frac {m}{n}}{\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i}}\,;$

or on a, par le n^o 33, les intégrales étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini,

$\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i={\frac {\int x^{i}dxc^{-x}}{\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}}},$

$i$ étant ici positif : c’est l’expression de $\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{i+1}}}$ dont on doit faire usage dans le cas que nous examinons ici. Si l’on fait $x=t'',$ on aura

${\frac {n}{m}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dxc^{-x}=n^{2}\int t^{n-m-1}dtc^{-t^{n}}\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}},$

et l’équation (T) du n^o 24 donne, en y changeant $r$ dans $m+1,$

$n^{2}\int t^{n-m-1}dtc^{-t^{n}}\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {m}{n}}\pi }}\,;$

on aura donc

$\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}\pi }{\sin {\cfrac {m}{n}}\int x^{i}dxc^{-x}}},$

d’où l’on tire, en substituant cette valeur dans l’expression précédente de $\Delta ^{n}s^{i},$

$(\mu ''')\qquad \Delta ^{n}s^{i}={\frac {(-1)^{r+1}\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}{\pi }}\int x^{i}dxc^{-x}\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n},$

les intégrales étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini.

Le procédé qui vient de nous conduire à cette équation est fondé sur les passages réciproques du réel à l’imaginaire ; mais on peut y parvenir directement par l’analyse suivante, qui confirmera ainsi la justesse de ces passages.