Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/707

est proportionnelle à l’exponentielle

$c^{-{\frac {k^{2}r^{2}}{2\left(kk''-k'^{2}\right)}}}.$

Cette somme est $S\varepsilon ^{(i)},$ et, par le n^o 1, on a

$\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)}+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right).$

Par la nature des équations finales, on a $\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)}=0\,;$ on a donc

${\frac {ak'}{k}}s+ar{\sqrt {s}}=\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right).$

Si l’on fait, comme dans ce numéro, $u={\frac {v}{\sqrt {s}}},\ u'={\frac {v'}{\sqrt {s}}},\ldots ,$ on aura ainsi

Ainsi ${\frac {k'}{k}}$ est de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {s}}},$ et son carré est de l’ordre ${\frac {1}{s}}\,;$ on peut donc le négliger, eu égard à ${\frac {k''}{k}}.$ La probabilité de l’existence simultanée de $r,v,v',\ldots$ est ainsi proportionnelle à l’exponentielle

$c^{-{\frac {k}{2k''}}r^{2}-{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}}}.$

En la multipliant par $dr,dv',\ldots ,$ en l’intégrant par rapport à $r,v',v'',\ldots ,$ depuis l’infini négatif jusqu’à l’infini positif, on aura une quantité proportionnelle à la probabilité de $v.$ En multipliant donc cette quantité par $dv$ et en prenant l’intégrale dans des limites données, en la divisant ensuite par cette même intégrale prise depuis $v=-\infty$ jusqu’à $v=+\infty ,$ on aura la probabilité que la valeur de $v$ est contenue dans ces limites. On voit ainsi que la considération des valeurs que $k'$ peut avoir et dont dépend la différence de probabilité des erreurs positives et négatives n’a aucune influence sensible sur les résultats de la méthode générale exposée ci-dessus.