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vations $s,s',s'',\ldots$ donne avec le plus de probabilité, est

${\frac {{\text{ϐ}}'^{2}q+{\text{ϐ}}''^{2}q'+\ldots }{{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }}.$

Cette correction, ajoutée au résultat $\mathrm {A} ,$ donne, pour le résultat qu’il faut choisir,

${\frac {\mathrm {A} {\text{ϐ}}^{2}+(\mathrm {A} +q){\text{ϐ}}'^{2}+(\mathrm {A} +q'){\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }{{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }}.$

La correction précédente est celle qui rend un minimum la fonction

$({\text{ϐ}}x)^{2}+\left[{\text{ϐ}}'(x-q)\right]^{2}+\left[{\text{ϐ}}''(x-q')\right]^{2}+\ldots .$

Or la plus grande ordonnée de la courbe des probabilités du premier résultat est, comme on vient de le voir, ${\frac {\text{ϐ}}{\sqrt {\pi }}}\,;$ celle de la courbe des probabilités du second résultat est ${\frac {{\text{ϐ}}'}{\sqrt {\pi }}},$ et ainsi de suite ; le milieu qu’il faut choisir entre les divers résultats est donc celui qui rend un minimum la somme des carrés de l’erreur de chaque résultat multipliée par la plus grande ordonnée de sa courbe de probabilité. Ainsi la loi du minimum des carrés des erreurs devient nécessaire, lorsque l’on doit prendre un milieu entre des résultats donnés chacun par un grand nombre d’observations.

24. On a vu précédemment que, de toutes les manières de combiner les équations de condition pour en former des équations finales linéaires, nécessaires à la détermination des éléments, la plus avantageuse est celle qui résulte de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, du moins lorsque les observations sont en grand nombre. Si, au lieu de considérer le minimum des carrés des erreurs, on considérait le minimum d’autres puissances des erreurs, ou même de toute autre fonction des erreurs, les équations finales cesseraient d’être linéaires, et leur résolution deviendrait impraticable, si les observations étaient en grand nombre. Cependant il est un cas qui mérite une attention particulière, en ce qu’il donne le système dans