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approchée de

$\Delta ^{n}(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots ,$

$n,i,i',\ldots$ étant supposés de très grands nombres. On trouvera par le numéro cité

$\Delta ^{n}(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots$

$={\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}\left({\cfrac {i'}{a'}}\right)^{i'+1}\ldots c^{(s+p)a+(s+p')a'+\ldots -i-i'-\ldots }\left(c^{a+a'+\ldots }-1\right)^{n}}{\sqrt {\left[{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\cfrac {nic^{a+a'+\ldots }}{\left(c^{a+a'+\ldots }-1\right)^{2}}}\right]\left[{\cfrac {i'(i'+1)}{a'^{2}}}-{\cfrac {ni'c^{a+a'+\ldots }}{\left(c^{a+a'+\ldots }-1\right)^{2}}}\right]\ldots }}}.$

$a,a',\ldots$ étant déterminés par les équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {i+1}{a}}+s-p-{\frac {nc^{a+a'+\ldots }}{c^{a+a'+\ldots }-1}}\\{\frac {i'+1}{a'}}=&{\frac {i+1}{a}}+p'-p,\\{\frac {i''+1}{a''}}=&{\frac {i+1}{a}}+p''-p,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Le cas le plus ordinaire est celui dans lequel les exposants $i,i',i'',\ldots$ sont égaux, et $s+p,\ s+p',\ldots$ forment une progression arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante, la différence finie de leur produit élevé à une haute puissance.

Considérons la différence $\Delta ^{n}\left[s(s-1)\right]^{i}.$ Si l’on fait $s=s'+{\frac {1}{2}},$ elle devient

$\Delta ^{n}s'^{2i}\left(1-{\frac {1}{4s'^{2}}}\right)^{i}.$

En développant cette fonction en série, on a

$\Delta ^{n}s'^{2i}-{\frac {i}{4}}\Delta ^{n}s'^{2i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2.4^{2}}}\Delta ^{n}s'^{2i-4}-\ldots .$

Les formules du n^o 40 donneront la valeur approchée de chacun des termes de cette série, et l’on voit, par ces formules, que, $n$ et $i$ étant de très grands nombres, $\Delta ^{n}s^{2i-2}$ est d’un ordre moindre de deux unités que $\Delta ^{n}s^{2i},$ d’où il suit que chaque terme de la série précédente est d’un