Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/334

sance $s$ de ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ ne surpasse pas $(2n+1)^{s}\left({\frac {2}{9}}\right)^{s}\,;$ que le quatrième maximum est compris entre ${\frac {2n+1}{2}}\varpi ={\frac {13}{4}}\pi$ et ${\frac {2n+1}{2}}\varpi ={\frac {7}{2}}\pi ,$ et qu’à ce maximum la puissance $s$ de ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ ne surpasse point $(2n+1)^{s}\left({\frac {2}{13}}\right)^{s},$ et ainsi de suite.

Maintenant, si, à partir de l’un quelconque de ces maxima, on fait

$\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}=\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\mathrm {H} }{\sin {\cfrac {1}{2}}\mathrm {H} }}\right)^{s}c^{-t^{2}},$

$\mathrm {H}$ étant la valeur de $\varpi$ qui correspond à ce maximum, et si l’on fait

$\varpi =\mathrm {H} +\varpi ',$

on aura, en prenant les logarithmes des deux membres de l’équation précédente entre $\varpi$ et $t$,

$s\log \sin {\frac {2n+1}{2}}(\mathrm {H} +\varpi ')-s\log \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {H} +\varpi ')$

$=s\left(\log \sin {\frac {2n+1}{2}}\mathrm {H} -\log \sin {\frac {1}{2}}\mathrm {H} \right)-t^{2}.$

En développant le premier membre de cette équation suivant les puissances de $\varpi ',$ la comparaison de la première puissance donnera d’abord l’équation du maximum

$\operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\mathrm {H} =(2n+1)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {H} .$

En ne considérant ensuite que la seconde puissance de $\varpi ',$ on aura

${\frac {1}{2}}n(n+1)s\varpi '^{2}=t^{2},$

ce qui donne

$d\varpi '={\frac {2dt}{\sqrt {n(n+1)2s}}}\,;$