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mètes sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons également possibles, depuis zéro jusqu’à l’angle droit, est évidemment la même que la probabilité précédente ; l’intervalle $2a$ des limites des erreurs de chaque observation est, dans ce cas, l’intervalle ${\frac {\pi }{2}}$ des limites des inclinaisons possibles : alors la probabilité que la somme des inclinaisons doit être comprise dans les limites $\pm {\frac {\pi r{\sqrt {s}}}{4}}$ est $2{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$ ce qui s’accorde avec ce que l’on a trouvé dans le n^o 13.

Supposons généralement que la probabilité de chaque erreur positive ou négative soit exprimée par $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right),\ x$ et $n$ étant des nombres infinis. Alors, dans la fonction

$1+2\cos \varpi +2\cos 2\varpi +2\cos 3\varpi +\ldots +2\cos n\varpi ,$

chaque terme, tel que $2\cos x\varpi ,$ doit être multiplié par $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\,;$ or on a

$2\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\cos x\varpi =2\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)n^{2}\varpi ^{2}+\ldots .$

En faisant donc

$x'={\frac {x}{n}},\qquad dx'={\frac {1}{n}},$

la fonction

$\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)\cos \varpi +2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)\cos 2\varpi +\ldots +2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\cos n\varpi$

devient

$2n\int dx'\varphi (x')-n^{3}\varpi ^{2}\int x'^{2}dx'\varphi (x')+\ldots ,$

les intégrales devant être étendues depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1.$ Soit alors

$k=2\int dx'\varphi (x'),\qquad k''=\int x'^{2}dx'\varphi (x'),\qquad \ldots .$

La série précédente devient

$nk\left(1-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right).$