Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/213

25

LIVRE PREMIER.

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d’une suite récurrente ; car il est clair que, dans ce cas, $\nabla y_{x},\nabla ^{2}y_{x},\ldots$ vont toujours en diminuant et finissent par être nuls dans l’infini.

6. La formule (B) s’arrête lorsque l’on a $\nabla ^{r}y_{x}=0,\ r$ étant un nombre entier positif quelconque, et alors l’expression précédente de $y_{x+i}$ devient l’intégrale de l’équation aux différences finies $\nabla ^{r}y_{i}=0,$ ce qui est ana\logue à ce qu’on a vu dans le n^o 3, relativement à l’équation $\nabla ^{r}y_{i}=0.$ Supposons $\nabla y_{i}=0,$ ou, ce qui revient au même,

$0=ay_{i}+by_{i+1}+cy_{i+2}+\ldots +qy_{i+n}\,;$

si l’on fait $x$ nul dans la formule (B) du numéro précédent, elle devient

${\begin{aligned}y_{i}&=y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+y_{2}\left(e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-2}^{(0)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+qy_{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\end{aligned}}$

$y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n-1}$ sont les $n$ premières valeurs de $y_{i}\,;$ ce sont les $n$ constantes arbitraires que l’intégrale de l’équation $\nabla y_{i}=0$ introduit.

La valeur de $\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}$ est égale à

$-{\frac {1}{a\alpha ^{i-n+2}(\alpha -\alpha ')(\alpha -\alpha '')\ldots }}-{\frac {1}{a\alpha ^{'i-n+2}(\alpha '-\alpha )(\alpha '-\alpha '')\ldots }}-\ldots .$

Ainsi, $\mathrm {V}$ étant égal à $a((\theta -\alpha )(\theta -\alpha ')\theta -\alpha '').\ldots ,$ le premier de ces termes devient

$-{\frac {\alpha ^{n-2}}{\alpha ^{i}{\cfrac {d\mathrm {V} }{d\theta }}}},$

pourvu que l’on change $\theta$ en $\alpha$ dans ${\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }}\,;$ en n’ayant donc égard qu’au