Mais si 
perd au coup 
et aux 
coups suivants, 
gagnera la partie au coup 
et la probabilité de cela est 
est donc la partie de 
relative au premier cas.
Dans le second cas, si l’on nomme 
sa probabilité, 
sera la probabilité 
de pour gagner la partie au coup 
La probabilité de pour gagner la partie au coup relative à ce cas, est 
on a donc 
pour cette probabilité.
En continuant ainsi, on aura
![{\displaystyle y_{x}={\frac {q^{i}}{(1-q)^{i}}}\left[(1-q)y'_{x-1}+(1-q)^{2}y'_{x-2}+\ldots +(1-q)^{i-1}y'_{x-i+1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34006ae22612a8cf2c7b523bdaa815e7707262e3)
Si l’on change 
en 
en 
et réciproquement, on aura
Maintenant, 
étant fonction génératrice de 
celle de 
sera, par tout ce qui précède,
étant égal à 
Mais l’expression précédente de ne commençant à avoir lieu que lorsque 
parce que pour des valeurs plus petites de 
sont nuls, il faut, pour compléter l’expression précédente de la fonction génératrice de lui ajouter une fonction rationnelle et entière de 
de l’ordre 
et dont les coefficients des puissances de 
soient les valeurs de lorsque 
est égal ou plus petit que 
Or est nul, lorsque est moindre que 
et lorsqu’il est égal à 
est 
parce qu’il exprime alors la probabilité de pour gagner la partie après 
coups ; la fonction à ajouter est donc 
ainsi la fonction génératrice de est
![{\displaystyle kqut\left[1+qt+\ldots +q^{i-2}t^{i-2}\right]+(1-q)^{i}t^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02c6c4d6254dd390446653bf2278967b6e22254)
Si l’on nomme 
cette fonction, l’expression de en 
