Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/736

par le Chapitre cité du Livre III de la Mécanique céleste,

$\mathrm {R} =1+u-\left({\frac {du}{dt}}\right)\operatorname {tang} l+{\frac {\cfrac {d\,du}{d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}l}}\,;$

et si l’on nomme $\varepsilon$ la longueur de l’arc mesuré $AA^{(1)},$ on aura, à fort peu près,

$\mathrm {R} ={\frac {\varepsilon }{\varphi \cos l}}\left(1-{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{2}\operatorname {tang} ^{2}l\right)\,;$

ce qui donne, à fort peu près,

$\delta \mathrm {R} ={\frac {\delta \varepsilon }{\varphi \cos l}}-{\frac {\varepsilon \delta \varphi }{\varphi ^{2}\cos l}}\,;$

mais on a, par ce qui précède,

${\begin{aligned}\delta \varepsilon =&p{\overline {\alpha }}+q{\overline {\text{ϐ}}}+\ldots ,\\\delta \varphi ={\frac {\mp \delta \mathrm {A} ^{(n)}}{\sin l}}=&{\frac {\pm \left({\overline {\alpha }}-{\overline {\alpha }}^{(1)}+{\overline {\alpha }}^{(2)}-\ldots \right)}{\sin l}},\end{aligned}}$

le signe inférieur ayant lieu si $n$ est pair, et le signe supérieur si $n$ est impair. En faisant donc

${\begin{alignedat}{2}{\overline {p}}=&{\frac {p}{\varphi \cos l}}\mp {\frac {\varepsilon }{\varphi ^{2}\sin l\cos l}},\qquad &{\overline {q}}=&{\frac {q}{\varphi \cos l}},\\{\overline {p}}^{(1)}=&{\frac {p^{(1)}}{\varphi \cos l}}\pm {\frac {\varepsilon }{\varphi ^{2}\sin l\cos l}},&{\overline {q}}^{(1)}=&{\frac {q^{(1)}}{\varphi \cos l}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

la probabilité que l’erreur $\delta \mathrm {R}$ sera comprise dans les limites $\pm s$ sera

${\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à

$t={\frac {3s}{2\theta }}{\sqrt {\frac {n}{{\overline {p}}^{2}-{\overline {p}}\,{\overline {q}}+{\overline {q}}^{2}+{\overline {p}}^{(1)2}-{\overline {p}}^{(1)}{\overline {q}}^{(1)}+\ldots }}}.$

La différence en latitude des points extrêmes de la perpendiculaire