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de déterminer. Or, si l’on fait attention que $z_{0,x'}$ est nul, quel que soit $x',$ la probabilité du joueur $\mathrm {A}$ se changeant alors en certitude, on voit que le coefficient de $t^{0}$ dans le développement de la fonction génératrice par rapport aux puissances de $t$ doit être nul, et l’on aura

${\frac {\mathrm {A} '_{1}}{1-m't'}}=0\quad$ou$\quad \mathrm {A} '_{1}=0.$

De plus, $z_{x,0}$ est nul quand $x$ est zéro, et égal à l’unité quand $x$ est ou $1$ ou $2,$ ou $3,\ldots ,$ puisqu’alors la probabilité du joueur $\mathrm {B}$ se change en certitude ; la fonction génératrice de $z_{x,0}$ est donc ${\frac {t}{1-t}}\,;$ c’est le coefficient de $t'^{0}$ dans le développement de la fonction génératrice suivant les puissances de $t'\,;$ on aura donc

${\frac {\mathrm {A} _{1}t}{1-mt}}={\frac {t}{1-t}}\,;$

ce qui donne

$\mathrm {A} _{1}t={\frac {t(1-mt)}{1-t}}\,;$

par conséquent la fonction génératrice de $z_{x,x'}$ est

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {t(1-mt)}{(1-t)(1-mt-m't'-ntt')}}\,;$

en la mettant sous cette forme

${\frac {t}{1-t}}{\frac {1}{1-\left({\cfrac {m'+nt}{1-mt}}\right)t'}}$

et la développant par rapport aux puissances de $t',$ on a

${\frac {t}{1-t}}\left[1+\left({\cfrac {m'+nt}{1-mt}}\right)t'+\left({\cfrac {m'+nt}{1-mt}}\right)^{2}t'^{2}+\left({\cfrac {m'+nt}{1-mt}}\right)^{3}t'^{3}+\ldots \right].$

Le coefficient de $t'^{x'}$ dans cette série est

${\frac {t}{1-t}}\left({\frac {m'+nt}{1-mt}}\right)^{x'},$