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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Maintenant on a, par le n^o 5,

${\frac {1}{Z^{s}}}={\frac {t^{ns}}{\left(at^{n}+bt^{n-1}+ct^{n-2}+\ldots +q\right)^{s}}}\,;$

or le coefficient de $t^{i}$ dans le développement du second membre de cette équation, est égal à celui de $\theta ^{i-ns}$ dans le développement de

${\frac {1}{\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +q\right)^{s}}},$

et, par le numéro précédent, ce coefficient est égal à $\mathrm {Z} _{i-ns}^{(s-1)}\,;$ donc le coefficient de $t^{i}$ dans le développement de ${\frac {\lambda }{z^{s}}}$ sera

$\mathrm {X} _{i-ns}\mathrm {Z} _{0}^{(s-1)}+\mathrm {X} _{i-ns-1}\mathrm {Z} _{1}^{(s-1)}+\mathrm {X} _{i-ns-2}\mathrm {Z} _{2}^{(s-1)}+\ldots +\mathrm {X} _{0}\mathrm {Z} _{i-ns}^{(s-1)}$

ou $\Sigma \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)},$ l’intégrale étant prise relativement à $r,$ depuis $r=0$ jusqu’à $r=i-ns\,;$ ce sera la valeur de $y_{i}.$ Cela posé, si dans la formule (B) du numéro précédent on suppose $\nabla ^{s}y_{i}=0,$ elle donnera, en observant que $y_{i}=y'_{i}+y''_{i},$

(C)

$\left\{{\begin{aligned}y'_{i}+\Sigma \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)}&=y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+\nabla y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}+c\mathrm {Z} _{i-sn+2}^{(s-1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+n}^{(s-1)}\right)\\&+y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+\nabla y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n-1}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+n-1}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}y_{n-1}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\nabla y_{n-1}+\ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}\nabla ^{s-1}y_{n-1},\end{aligned}}\right.$

$y_{0},\nabla y_{0},\ldots ,\nabla ^{s-1}y_{0},y_{1},\nabla y_{1},\ldots$ étant les $ns$ arbitraires de l’intégrale de l’équation $\nabla ^{s}y_{i}=0$ ou

$\nabla ^{s}y'_{i}+\nabla ^{s}y''_{i}=0\,;$

or, $\nabla ^{s}y''_{i}$ étant égale à $\mathrm {X} _{i},$ cette équation devient

$0=\nabla ^{s}y'_{i}+\mathrm {X} _{i}\,;$