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En faisant $sx^{n}=t^{n},$ elle devient

$\int {\frac {dsc^{-s}}{s^{\frac {1}{n}}}}\int dtc^{-t^{n}},$

et si l’on fait $s=t^{n},$ on aura

$n\int dtc^{-t^{n}}\int t^{n-2}dtc^{-t^{n}}={\frac {\pi }{n\sin {\frac {\pi }{n}}}},$

les intégrales étant prises depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. Si l’on change $n$ en ${\frac {n}{r-1}},$ cette équation devient

$n^{2}\int dtc^{-t^{\frac {n}{r-1}}}\int t^{{\frac {n}{r-1}}-2}dtc^{-t^{\frac {n}{r-1}}}={\frac {(r-1)^{2}\pi }{\sin {\frac {r-1}{n}}\pi }},$

et si dans cette nouvelle équation on change $t$ en $t^{r-1},$ on aura

(T)

$n^{2}\int t^{r-2}dtc^{-t^{n}}\int t^{n-r}dtc^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\frac {r-1}{n}}\pi }}.$

On aura, au moyen de cette formule, en y faisant $n=2i,$ toutes les valeurs de $k,k^{(1)},\ldots ,k^{i-1},$ lorsque l’on en connaîtra la moitié, si $i$ est pair, ou la moitié moins un demi, si $i$ est impair.

En faisant $n=2$ et $r=2,$ cette formule donne ce résultat remarquable

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

25. On peut, en vertu de la généralité de l’analyse, étendre les résultats précédents au cas où $t$ est imaginaire. Considérons l’intégrale $\int dx\cos rxc^{-a^{2}x^{2}},$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. On peut la mettre sous cette forme

${\frac {1}{2}}\int dxc^{-a^{2}x^{2}+rx{\sqrt {-1}}}+{\frac {1}{2}}\int dxc^{-a^{2}x^{2}-rx{\sqrt {-1}}}.$

L’intégrale $\int dxc^{-a^{2}x^{2}+rx{\sqrt {-1}}}$ est égale à

$c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}\int dxc^{-\left(ax-{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2a}}\right)^{2}}.$