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ment au coup $x\,;$ nommons $z_{x}$ cette probabilité. Pour que la partie finisse au coup $x$, il faut que le joueur qui entre au jeu au coup $x-n+1$ gagne ce coup et les $n-1$ coups suivants ; or il peut entrer contre un joueur qui n’a gagné qu’un seul coup : en nommant $\mathrm {P}$ la probabilité de cet événement, ${\frac {\mathrm {P} }{2^{n}}}$ sera la probabilité correspondante que la partie finira au coup $x.$ Mais la probabilité $z_{x-1}$ que la partie finira au coup $x-1$ est évidemment ${\frac {\mathrm {P} }{2^{n-1}}}.$ Car il est nécessaire pour cela qu’il y ait un joueur qui ait gagné un coup, au coup $x-n+1,$ et qui, jouant à ce coup, le gagne et les $n-2$ coups suivants ; et la probabilité de chacun de ces événements étant $\mathrm {P}$ et ${\frac {1}{2^{n-1}}},$ la probabilité de l’événement composé sera ${\frac {\mathrm {P} }{2^{n-1}}}.\,;$ on aura donc $z_{x-1}={\frac {\mathrm {P} }{2^{n-1}}},$ et, par conséquent,

${\frac {\mathrm {P} }{2^{n}}}={\frac {1}{2}}z_{x-1}\,;$

${\frac {1}{2}}z_{x-1}$ est donc la probabilité que la partie finira au coup $x,$ relative à ce cas.

Si le joueur qui entre au jeu au coup $x-n+1$ joue à ce coup contre un joueur qui a déjà gagné deux coups, en nommant $\mathrm {P} '$ la probabilité de ce cas, ${\frac {\mathrm {P} '}{2^{n}}}$ sera la probabilité relative à ce cas que la partie finira au coup $x.$ Mais on a

${\frac {\mathrm {P} '}{2^{n-2}}}=z_{x-2}\,;$

car, pour que la partie finisse au coup $x-2,$ il faut qu’au coup $x-n+1$ l’un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu’il gagne ce coup et les $n-3$ coups suivants. On a donc

${\frac {\mathrm {P} '}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{2}}}z_{x-2}\,;$

${\frac {1}{2^{2}}}z_{x-2}$ est donc la probabilité que la partie finira au coup $x,$ relative à ce cas ; et ainsi de suite.