27. Pour donner une application de la formule précédente, considérons le cas où deux joueurs
et
jouent ensemble avec cette condition, que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagne la partie, et supposons que, sur un très grand nombre
de parties,
en ait gagné un nombre
En nommant
la probabilité de
pour gagner un coup, et par conséquent
la probabilité correspondante de
la probabilité de
pour gagner une partie sera la somme des deux premiers termes du binôme
et la probabilité correspondante de
sera la somme des deux derniers termes. Ces probabilités sont donc
et
ainsi la probabilité que, sur
parties,
en gagnera
et
sera proportionnelle à
En nommant donc
cette fonction, et
la valeur de
qui la rend un maximum, la probabilité que la valeur de
est comprise dans les limites
et
sera
![{\displaystyle {\frac {\int ydx}{\int ydx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be936441764da8e35a63d5efd794e4214f431053)
l’intégrale du numérateur étant prise depuis
jusqu’à
et celle du dénominateur étant prise depuis
jusqu’à
Si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}=\alpha ,\qquad {\frac {i}{n}}=i',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665c45da0167b935cd41d70ca36e6311817755a9)
on aura, par le numéro précédent,
![{\displaystyle \varphi =x^{2i'}(3-2x)^{i'}(1-x)^{2-2i'}(1+2x)^{1-i'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dedb57ceef5316b7cb5b27623267441fdd14c81)
La condition du maximum de
ou de
donne
par conséquent,
étant la valeur de
correspondante à ce maximum, on aura
![{\displaystyle 0={\frac {2i'}{a}}-{\frac {2i'}{3-2a}}-{\frac {2(1-i')}{1-a}}+{\frac {2(1-i')}{1+2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9083fedf2bb9b23a5093362ee83218d960f6348e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle i'=a^{2}(3-2a),\qquad 1-i'=(1-a)^{2}(1+2a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191bbbb0e3daba4d109a6c8bedeb7c4dbba1dadd)
ensuite on a
![{\displaystyle {\frac {-d^{2}\Phi }{2\Phi dx^{2}}}={\frac {18}{(3-2a)(1+2a)}}=k^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d965539f5b1fc1b0fd05a72127fcc261ee31ff9)