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27. Pour donner une application dç la formule précédente, considérons le cas où deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent ensemble avec cette condition, que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagne la partie, et supposons que, sur un très grand nombre $n$ de parties, $\mathrm {A}$ en ait gagné un nombre $i.$ En nommant $x$ la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner un coup, et par conséquent $1-x$ la probabilité correspondante de $\mathrm {B} ,$ la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner une partie sera la somme des deux premiers termes du binôme $(x+1-x)^{3},$ et la probabilité correspondante de $\mathrm {B}$ sera la somme des deux derniers termes. Ces probabilités sont donc $x^{2}(3-2x)$ et $(1-x)^{2}(1+2x)\,;$ ainsi la probabilité que, sur $n$ parties, $\mathrm {A}$ en gagnera $i,$ et $\mathrm {B} ,\ n-i,$ sera proportionnelle à $x^{2i}(3-2x)^{i}(1-x)^{2n-2i}(1+2x)^{n-i}.$ En nommant donc $y$ cette fonction, et $a$ la valeur de $x$ qui la rend un maximum, la probabilité que la valeur de $x$ est comprise dans les limites $a-\theta$ et $a+\theta$ sera

${\frac {\int ydx}{\int ydx}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x=a-\theta$ jusqu’à $x=a+\theta ,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Si l’on fait

${\frac {1}{n}}=\alpha ,\qquad {\frac {i}{n}}=i',$

on aura, par le numéro précédent,

$\varphi =x^{2i'}(3-2x)^{i'}(1-x)^{2-2i'}(1+2x)^{1-i'}.$

La condition du maximum de $y$ ou de $\varphi$ donne $\varphi =0\,;$ par conséquent, $a$ étant la valeur de $x$ correspondante à ce maximum, on aura

$0={\frac {2i'}{a}}-{\frac {2i'}{3-2a}}-{\frac {2(1-i')}{1-a}}+{\frac {2(1-i')}{1+2a}},$

d’où l’on tire

$i'=a^{2}(3-2a),\qquad 1-i'=(1-a)^{2}(1+2a)\,;$

ensuite on a

${\frac {-d^{2}\Phi }{2\Phi dx^{2}}}={\frac {18}{(3-2a)(1+2a)}}=k^{2}.$