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LIVRE PREMIER.

En effet, en développant le binôme renfermé sous le signe $\int ,$ et substituant, au lieu de $c^{\pm 2r\varpi {\sqrt {-1}}},$ sa valeur $\cos 2r\varpi \pm {\sqrt {-1}}\sin 2r\varpi ,$ on aura le terme moyen du binôme, plus une suite de cosinus de l’angle $2\varpi$ et de ses multiples ; en les multipliant par $d\varpi$ et les intégrant, cette suite se transformera dans une suite de sinus de l’angle $2\varpi$ et de ses multiples, sinus qui sont nuls aux deux limites $\varpi =0$ et $\varpi ={\frac {1}{2}}\pi .$ Il ne restera ainsi dans l’intégrale que le terme moyen du binôme, multiplié par ${\frac {1}{2}}\pi .$ Cela posé, si l’on substitue, au lieu du binôme $c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+c^{-\varpi {\sqrt {-1}}},$ sa valeur $2\cos \varpi ,$ on aura

$y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int d\varpi \cos ^{2s}\varpi \,;$

en supposant $\sin \varpi =u,$ on aura

$y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}},$

l’intégrale étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ ce qui coïncide avec ce que l’on a trouvé dans le numéro précédent.

Considérons maintenant le trinôme $\left({\frac {1}{a}}+1+a\right)^{s},$ et nommons $y_{s}$ le terme moyen, ou indépendant de $a,$ dans le développement de ce trinôme. Ce terme sera le terme indépendant de $c^{\pm \varpi {\sqrt {-1}}}$ dans le développement du trinôme $\left(c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+1+c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{s}\,;$ on aura conséquemment, en appliquant ici le raisonnement qui précède,

$y_{s}={\frac {1}{\pi }}\int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ La condition du maximum de la fonction $(1+2\cos \varpi )^{s}$ donne $\sin \varpi =0,$ en sorte que les deux limites de l’intégrale, $\varpi =0$ et $\varpi =\pi ,$ répondent à des maxima de cette fonction ; on partagera donc l’intégrale précédente dans les deux suivantes

$\int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s},\qquad (-1)^{s}\int d\varpi (2\cos \varpi -1)^{s}.$

la première de ces intégrales étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à la valeur