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en divisant la fraction précédente par celle-ci, on aura, pour la probabilité de $x$ ou pour la valeur initiale de $\mathrm {U}$,

${\frac {(1.2.3\ldots m)^{2}.1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots (2m-n)}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots (m-x).1.2.3\ldots (n-x).1.2.3\ldots (m-n+x).1.2.3\ldots 2m}}.$

Maintenant, si l’on observe que l’on a à très peu près, lorsque $s$ est un grand nombre,

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }},$

on trouvera facilement, après toutes les réductions, en faisant

$x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},$

et en négligeant les quantités de l’ordre ${\frac {1}{n}}$ qui ne sont pas multipliées par $\mu ^{2},$

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}}{\sqrt {\frac {m}{2m-n}}}c^{-{\cfrac {m\mu ^{2}}{2m-n}}}\,;$

en faisant donc

$i^{2}={\frac {m}{2m-n}},$

on aura

$\mathrm {U} ={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}c^{-i^{2}\mu ^{2}}.$

Si le nombre $m$ est infini, alors $i^{2}={\frac {1}{2}},$ et la valeur initiale de $\mathrm {U}$ est

$\mathrm {U} ={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n\pi }}}c^{-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}}.$

Sa valeur, après un nombre quelconque de tirages, est

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n\pi \left(1+c^{-{\frac {4r}{n}}}\right)}}}c^{-{\cfrac {\mu ^{2}}{\left(1+c^{-{\frac {4r}{n}}}\right)}}}.$

Le cas de $m$ infini revient à celui dans lequel les urnes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seraient remplies, en projetant $n$ fois une pièce qui amènerait indifféremment