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CHAPITRE III.

application des méthodes précédentes à l’approximation de diverses fonctions de très grands nombres.

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Parmi les diverses fonctions auxquelles ces méthodes peuvent s’appliquer, je vais considérer les produits des nombres, les développements des polynômes et les différences infiniment petites et finies des fonctions, ces diverses quantités étant celles qui se présentent le plus souvent dans l’Analyse des hasards.

De l’approximation des produits composés d’un grand nombre de facteurs, et des termes des polynômes élevés à de grandes puissances.

33. Proposons-nous d’intégrer l’équation aux différences finies

$0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}.$

Si l’on y suppose

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,$

on aura, en désignant $x^{s}$ par $\delta y.$

$0=\int \varphi dx[(1-x)\delta y+x{\frac {d\delta y}{dx}}],$

d’où l’on tire, en intégrant par parties, suivant la méthode précédente, les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&\varphi (1-x)-{\frac {d(x\varphi )}{dx}},\\0=&x^{s+1}\varphi .\end{aligned}}$