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LIVRE PREMIER.
On a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&uu'u''\ldots \left({\frac {1}{t^{i}t'^{i}t''^{i}\ldots }}-1\right)^{n}\\&\ \ =uu'u''\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)^{i}\ldots -1\right]^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e652935c0376a7e627a7d4fdf8ffca49208c3f06)
En désignant donc par
la différence finie du produit
lorsque
varie de
l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients
(11)
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en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques
et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore en faisant
négatif, pourvu que l’on change les différences négatives en intégrales.
Supposons
![{\displaystyle x={\frac {x'}{dx'}},\qquad i={\frac {\alpha }{dx'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ae76df1505f7f45cb305f6209ead64c0dd9e4c)
deviendront des fonctions de
que nous désignerons par
l’équation (11) donnera ainsi la suivante, en observant que les caractéristiques
se changent en
et que l’on a
![{\displaystyle (1+dy_{x'})^{\frac {\alpha }{dx'}}=c^{\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459c48f4d05512dacdb972b17e0e5f7c89acee6)
(12)
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équation qui subsiste encore en faisant
négatif et changeant les différences négatives en intégrales.
Ne considérons que deux variables
et
et supposons
on aura
![{\displaystyle (1+\Delta ')^{i}=p^{x}+i\Delta p^{x}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}p^{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91f72e860bc85d68a60479aca4bf75cb3361276)
Or on a généralement,
variant de l’unité,
![{\displaystyle \Delta ^{r}p^{x}=p^{x}(p-1)^{r}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b133bab9f2557bc6530f462cd69720c80169f9)