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$x={\frac {1}{2}}\,;$ il faut donc, dans ce cas, faire usage de la formule (A) du n^o 22 du même Livre. Ici l’on a

$v=-{\frac {ydx}{dy}}=-{\frac {x(1-x)}{p-(p+q)x}}\,;$

la formule citée (A) donne ainsi, pour l’intégrale $\int ydx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{2}},$

${\frac {1}{2^{p+q+1}(p-q)}}\left[1-{\frac {p+q}{(p-q)^{2}}}+\ldots \right].$

Quant à l’intégrale $\int ydx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ on a, par le n^o 26,

$\int ydx=\mathrm {Y} \left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+\ldots \right){\sqrt {\pi }},$

$\mathrm {Y}$ étant ce que devient $y$ à son maximum, ou lorsqu’on y substitue ${\frac {p}{p+q}}$ pour $x\,;\ v$ est ici égal à ${\frac {x-{\frac {p}{p+q}}}{\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}}},$ et $\mathrm {U} ,\ {\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ sont ce que deviennent $v,\ {\frac {d^{2}.v^{3}}{dx^{2}}},\ldots ,$ lorsqu’on y fait, après les différentiations. $x={\frac {p}{p+q}}.$ On trouve ainsi, pour l’intégrale $\int ydx$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x=1,$

$\int ydx={\frac {p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}}\left[1+{\frac {(p+q)^{2}-13pq}{12pq(p+q)}}+\ldots \right]\,;$

la probabilité que la valeur de $x$ ne surpasse pas ${\frac {1}{2}}$ est donc égale à

$(o)\ {\frac {p+q+{\frac {3}{2}}}{(p-q){\sqrt {\pi }}2^{p+q+{\frac {3}{2}}}p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}}}\left[1-{\frac {p+q}{(p-q)^{2}}}-{\frac {(p+q)^{2}-13pq}{12pq(p+q)}}-\ldots \right].$

Pour appliquer de grands nombres à cette formule, il faudrait avoir les logarithmes de $p,q$ et $p-q,$ avec douze décimales au moins : on peut y suppléer de cette manière. On a

$\log \left[{\frac {\left({\cfrac {p+q}{2}}\right)^{p+q}}{p^{p}q^{q}}}\right]=-p\log \left(1+{\frac {p-q}{p+q}}\right)-q\log \left(1-{\frac {p-q}{p+q}}\right).$