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alors celui qui parie d’amener croix deux fois de suite ou pile deux fois de suite a de l’avantage sur celui qui parie que, dans deux coups, croix et pile alterneront, sa probabilité étant ${\frac {1+\alpha ^{2}}{2.}}$

On peut diminuer l’influence de l’inégalité des deux faces de la pièce, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Désignons par $\mathrm {A}$ cette pièce, et concevons une seconde pièce $\mathrm {B}$ semblable à la première. Supposons qu’après avoir projeté cette seconde pièce, on projette la pièce $\mathrm {A}$ pour former un premier coup, et déterminons la probabilité que dans $n$ coups pareils consécutifs, la pièce $\mathrm {A}$ présentera les mêmes faces que la pièce $\mathrm {B} .$ Si l’on nomme $p$ la probabilité d’amener croix avec la pièce $\mathrm {A}$ et $q$ la probabilité d’amener pile ; si l’on désigne ensuite par $p'$ et $q'$ les mêmes probabilités pour la pièce $\mathrm {B} ,\ pp'+qq'$ sera la probabilité que dans un coup la pièce $\mathrm {A}$ présentera les mêmes faces que la pièce $\mathrm {B} .$ Ainsi $(pp'+qq')^{n}$ sera la probabilité que cela aura lieu constamment dans $n$ coups. Soit

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&{\frac {1+\alpha }{2}},\qquad &q\ \ =&{\frac {1-\alpha }{2}},\\p'=&{\frac {1+\alpha '}{2}},\qquad &q'=&{\frac {1-\alpha '}{2}}\,;\end{alignedat}}$

on aura

$(pp'+qq')^{n}={\frac {1}{2^{n}}}(1+\alpha \alpha ')^{n}.$

Mais, comme on ignore quelles sont les faces que les inégalités $\alpha$ et $\alpha '$ favorisent, la probabilité précédente peut être également ou ${\frac {1}{2^{n}}}(1+\alpha \alpha ')^{n}$ ou ${\frac {1}{2^{n}}}(1-\alpha \alpha ')^{n},$ suivant que $\alpha$ et $\alpha '$ sont de même signe ou de signes contraires. La vraie valeur de cette probabilité est donc, $\alpha$ et $\alpha '$ étant supposés positifs,

${\frac {1}{2^{n+1}}}\left[(1+\alpha \alpha ')^{n}+(1-\alpha \alpha ')^{n}\right]$

ou

${\frac {1}{2^{n}}}\left[1+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\alpha ^{2}\alpha '^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}\alpha '^{4}+\ldots \right].$