celle des exposants variables, ce qui constitue le calcul exponentiel, l’une des branches les plus fécondes de l’Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée ; car toute fonction finie explicite d’une variable se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d’addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments sont des fonctions implicites de la variable. C’est ainsi qu’une variable ayant pour logarithme l’exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, le logarithme d’une variable en est une fonction implicite.
Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposants qu’aux grandeurs ; mais alors ces exposants, au lieu d’indiquer les multiplications répétées d’une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d’une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à l’analogie des puissances positives avec les différentielles et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière dans tous ses développements, et par une suite d’inductions, qui peut être regardée comme l’une des plus belles applications que l’on ait faites de cette méthode, il est parvenu à des formules générales, aussi curieuses qu’utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Mais il n’en a point donné les démonstrations qu’il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne ; elle montre avec évidence l’analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques, en sorte qu’elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l’intégration des équations aux différences en découle avec une extrême facilité.
