Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/457

La probabilité précédente devient ainsi

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {50\pi }}}{\frac {1197.1594}{1200.663}}=0{,}3046.$

Cette probabilité est beaucoup trop grande pour indiquer une cause qui ait favorisé, dans l’origine, les mouvements directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens des mouvements de révolution et de rotation des planètes et des satellites ne paraît pas avoir influé sur le mouvement des comètes.

14. La méthode du numéro précédent a l’avantage de s’étendre au cas où le nombre des boules de l’urne qui portent le même numéro n’est pas égal à l’unité, mais varie suivant une loi quelconque. Concevons, par exemple, qu’il n’y ait qu’une boule portant le n^o $0,$ qu’une boule portant le n^o $1,$ et ainsi de suite jusqu’au n^o $r$ inclusivement. Supposons de plus qu’il y ait deux boules portant le n^o $r+1,$ deux boules portant le n^o $r+2,$ et ainsi de suite jusqu’au n^o $n$ inclusivement. Le nombre total des boules de l’urne sera $2n-r+1,$ la probabilité d’en extraire un des numéros inférieurs à $r+1$ sera donc ${\frac {1}{2n-r+1}},$ et la probabilité d’en extraire le n^o $r+1$ ou l’un des numéros supérieurs sera ${\frac {2}{2n-r+1}}\,:$ nous la représenterons par ${\frac {1+l^{r+1}}{2n-r+1}}\,;$ mais nous ferons $l=1$ dans le résultat du calcul. Quoiqu’il n’y ait point de numéros au delà du n^o $n,$ nous pouvons cependant considérer dans l’urne des numéros supérieurs à $n,$ jusqu’à l’infini, pourvu que nous donnions à leur extraction une probabilité nulle ; nous pourrons donc représenter cette probabilité par ${\frac {1+l^{r+1}-2l^{n+1}}{2n-r+1}},$ en faisant $l=1$ dans le résultat du calcul. Par cet artifice, nous pourrons représenter généralement la probabilité d’un numéro quelconque par l’expression précédente, pourvu que nous ne fassions commencer $l^{r+1}$ que lorsqu’un des numéros commencera à surpasser $r,$ et que nous ne fassions commencer $l^{n+1}$ que lorsqu’un des numéros commencera à surpasser $n.$ Cela posé, on