Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/778

cette ligne les perpendiculaires $\mathrm {CI,C^{(1)}I^{(1)}} ,\ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {II^{(1)}} =&\mathrm {CC^{(1)}\cos A^{(1)}} ,\\\mathrm {C^{(1)}C^{(2)}} =&\mathrm {\frac {CC^{(1)}\sin C^{(1)}CC^{(2)}}{\sin C^{(1)}C^{(2)}C}} ,\\\mathrm {I^{(1)}I^{(2)}} =&\mathrm {C^{(1)}C^{(2)}\cos A^{(2)}} ,\\\mathrm {C^{(2)}C^{(3)}} =&\mathrm {\frac {C^{(1)}C^{(2)}\sin C^{(2)}C^{(1)}C^{(3)}}{\sin C^{(2)}C^{(3)}C^{(1)}}} ,\end{aligned}}$

et généralement

${\begin{aligned}\mathrm {I} ^{(i)}\mathrm {I} ^{(i+1)}=&\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}\cos \mathrm {A} ^{(i+1)},\\\mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i+2)}=&{\frac {\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}\sin \mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+2)}}{\sin \mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i+2)}\mathrm {C} ^{(i)}}}.\end{aligned}}$

Soient $\alpha ^{(1)}$ et ${\text{ϐ}}^{(1)}$ les erreurs des angles opposés aux côtés $\mathrm {CC} ^{(1)}$ et $\mathrm {C^{(1)}C^{(2)}}$ dans le premier triangle. Soient $\alpha ^{(2)}$ et ${\text{ϐ}}^{(2)}$ les erreurs des angles opposés aux côtés $\mathrm {C^{(1)}C^{(2)}}$ et $\mathrm {C^{(1)}C^{(3)}}$ du second triangle, et ainsi de suite. En désignant par $\delta$ une variation relative à ces erreurs, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\delta \mathrm {I} ^{(i)}\mathrm {I} ^{(i+1)}}{\mathrm {I} ^{(i)}\mathrm {I} ^{(i+1)}}}={\frac {\delta \mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}}{\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}}}-&\delta \mathrm {A} ^{(i+1)}\operatorname {tang} \mathrm {A} ^{(i+1)},\\{\frac {\delta \mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}}{\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}}}={\frac {\delta \mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i-1)}}{\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i-1)}}}+&{\text{ϐ}}^{(i)}\cot \mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i-1)}\mathrm {C} ^{(i)}\\-&\alpha ^{(i)}\cot \mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i-1)}.\end{aligned}}$

On a encore, en supposant les angles $\mathrm {A} ^{(i)}$ relatifs aux angles aigus que les côtés des triangles forment avec la ligne $\mathrm {AA} ^{(1)},\ldots ,$

$\delta \mathrm {A} ^{(i+1)}+\delta \mathrm {A} ^{(i)}+\delta \mathrm {C} ^{(i-1)}\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}=0\,;$

nous supposerons ici que les erreurs $\alpha ^{(i)}$ et ${\text{ϐ}}^{(i)}$ des angles $\mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i-1)}\mathrm {C} ^{(i)},\ \mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}\mathrm {C} ^{(i-1)}$ du triangle $\mathrm {C} ^{(i-1)}\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}$ sont celles qui restent, lorsqu’on a retranché de chaque angle du triangle le tiers de la somme des erreurs des trois angles. Alors on a

$\delta \mathrm {C} ^{(i-1)}\mathrm {C} ^{(i)}\mathrm {C} ^{(i+1)}=-\alpha ^{(i)}-{\text{ϐ}}^{(i)},$

ce qui donne

$\delta \mathrm {A} ^{(i+1)}=-\delta \mathrm {A} ^{(i)}+\alpha ^{(i)}+{\text{ϐ}}^{(i)}\,;$