en ne la considérant que comme une manière abrégée de représenter ces puissances, semble peu de chose ; mais tel est l’avantage d’une tangue bien faite, que ses notations les plus simples sont devenues souvent la source des théories les plus profondes, et c’est ce qui a eu lieu pour les exposants de Descartes. Wallis, qui s’est attaché spécialement à suivre le fil de l’induction et de l’ana\logie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par des exposants fractionnaires ; et de même que Descartes exprimait par les exposants les puissances secondes, troisièmes, … d’une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, … par les exposants fractionnaires En général, il exprima par l’exposant la racine d’une grandeur élevée à la puissance En effet, suivant la notation de Descartes, cette expression a lieu dans le cas où est divisible par , et Wallis, par ana\logie, l’étendit à tous les cas. Il remarqua ensuite que la multiplication des puissances d’une même grandeur revient à ajouter les exposants de ces puissances, qu’il faut retrancher dans leur division, en sorte que l’exposant indique le quotient de la puissance d’une grandeur, divisée par sa puissance d’où il suit que ce quotient devenant l’unité, lorsque est égal à toute grandeur ayant zéro pour exposant est l’unité même. Si surpasse l’exposant devient négatif, et le quotient devient l’unité divisée par la puissance de la grandeur. Wallis supposa donc généralement que l’exposant négatif exprime l’unité divisée par la racine ième de la grandeur élevée à la puissance
Ce fut dans son Ouvrage intitulé Arithmetica infinitorum que Wallis exposa ces remarques qui le conduisirent à sommer étant supposé formé d’une infinité d’éléments pris pour unité, ce qui, suivant les notations actuelles, revient à intégrer la différentielle Il fit voir que cette intégrale, prise depuis nul, est ce qui lui donna l’intégrale d’une suite formée de différentielles semblables. En considérant ainsi l’intégrale lorsque et sont des nombres
