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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

terme multiplié par ${\frac {1}{\alpha ^{i}}},$ l’expression précédente de $y_{i}$ deviendra

$y_{i}=-{\frac {1}{\alpha ^{i+1}{\cfrac {d\mathrm {V} }{d\theta }}}}\left\{{\begin{aligned}&y_{0}\left(b\alpha ^{n-1}+c\alpha ^{n-2}+e\alpha ^{n-3}+\ldots +q\right)\\+&y_{1}\left(c\alpha ^{n-1}+e\alpha ^{n-2}+\ldots +q\alpha \right)\\+&y_{2}\left(e\alpha ^{n-1}+\ldots +q\alpha ^{2}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&y_{n-1}q\alpha ^{n-1}\end{aligned}}\right\}.$

En changeant successivement, dans le second membre de cette équation, $\alpha$ en $\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ et réciproquement, on aura autant de termes qui, ajoutés au précédent, formeront l’expression complète de $y_{i}.$

Nommons $k$ la fonction comprise entre les deux parenthèses, en sorte que ce second membre soit $-{\frac {k}{\alpha ^{i+1}{\cfrac {d\mathrm {V} }{d\theta }}}}.$ Si les deux racines $\alpha$ et $\alpha '$ sont égales, $\mathrm {V}$ sera de cette forme $(\theta -\alpha )^{2}\mathrm {L} .$ On supposera que $\alpha$ et $\alpha ',$ au lieu d’être rigoureusement égaux, diffèrent infiniment peu, et que l’on a $\alpha '=\alpha +d\alpha .$ Alors la somme des deux termes de $y_{i}$ relatifs aux racines $\alpha$ et $\alpha '$ sera

$-{\frac {1}{d\alpha }}\left({\frac {k'}{\alpha ^{'i+1}L\mathrm {L} '}}-{\frac {k}{\alpha ^{i+1}L\mathrm {L} }}\right),$

$k'$ étant ce que devient $k$ lorsqu’on y change $\alpha$ en $\alpha '\,;\ \mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ étant ici ce que devient $\mathrm {L}$ lorsqu’on y change $\theta$ en $\alpha$ et $\alpha '.$ Cette quantité est donc égale à

$-{\frac {d{\cfrac {k}{\alpha ^{i+1}L\mathrm {L} }}}{d\alpha }}\,;$

mais on a

$\mathrm {L} {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{d\theta ^{2}}},$

$\theta$ devant être changé en $\alpha$ après les différentiations. La somme des termes de l’expression de $y_{i},$ relatifs aux deux racines égales, est donc

$-{\frac {1}{1.2}}{\frac {d}{d\alpha }}{\frac {k}{\alpha ^{i+1}{\cfrac {d^{2}\mathrm {V} }{d\theta ^{2}}}}}.$