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$\varphi '_{1}(t_{1})$ n’ayant lieu que lorsque $t_{1}$, est égal ou plus grand que $q_{1},$ cette quantité est la plus petite valeur que $t_{1}$ puisse recevoir ; il faut donc prendre l’intégrale dont il s’agit depuis $t_{1}=q_{1}$ jusqu’à

$t_{1}=s-q-t_{2}-t_{3}-\ldots \,;$

ou, ce qui revient au même, depuis $t_{1}-q_{1}=0$ jusqu’à

$t_{1}-q_{1}=s-q-q_{1}-t_{2}-t_{3}-\ldots .$

On trouvera de la même manière qu’en multipliant cette nouvelle intégrale par $dt_{2},$ il faudra l’intégrer depuis $t_{2}-q'_{2}=0$ jusqu’à

$t_{2}-q'_{2}=s-q-q_{1}-q'_{2}-t_{3}-\ldots .$

En continuant d’opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

$s-q-q_{1}-q'_{2}-\ldots ,$

dans laquelle il ne restera aucune des variables $t,t_{1},t_{2},\ldots .$ Cette fonction doit être rejetée, si $s-q-q_{1}-q'_{2}-\ldots$ est nul ou négatif ; car il est visible que, dans ce cas, le système des fonctions $\varphi '(t),$$\varphi '_{1}(t_{1}),\varphi ''_{2}(t_{2}),\ldots$ ne peut pas être employé. En effet, les plus petites valeurs de $t_{1},t_{2},\ldots$ étant, par la nature de ces fonctions, égales à $q_{1},q'_{2},\ldots ,$ la plus grande valeur que $t$ puisse recevoir est $s-q-q_{1}-q'_{2}-\ldots \,;$ ainsi la plus grande valeur de $t-q$ est

$s-q-q_{1}-q'_{2}-\ldots \,;$

or la fonction $\varphi '(f)$ ne peut être employée qu’au tant que $t-q$ est positif.

De là résulte une solution très simple du problème proposé. Que l’on substitue : 1^o $q+t$ au lieu de $t$ dans $\varphi '(t),\ q'+t$ au lieu de $t$ dans $\varphi ''(t),\ q''+t$ au lieu de $t$ dans $\varphi '''(t)$ et ainsi de suite ; 2^o $q_{1}+t_{1}$ au lieu de $t_{1},$ dans $\varphi '_{1}(t_{1}),\ q'_{1}+t_{1}$ au lieu de $t_{1}$ dans $\varphi ''_{1}(t_{1}),\ldots \,;$ 3^o $q_{2}+t_{2}$ au lieu de $t_{2}$ dans $\varphi '_{2}(t_{2}),\ q'_{2}+t_{2}$ au lieu de $t_{2}$ dans $\varphi ''_{2}(t_{2}),\ldots ,$ et ainsi de