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et ainsi de suite ; on a donc

$\iint \mu ^{2i}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}={\frac {1.2.3\ldots 2i\pi }{2^{2i}}}\,;$

par conséquent,

$\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu c^{-\mu ^{2}}={\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}.$

On trouvera de la même manière

$\int \mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i}d\mu c^{-\mu ^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i+1)}}.$

On a évidemment

$\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} '_{i'}d\mu c^{-\mu ^{2}}=0,$

dans le cas même où $i$ et $i'$ sont égaux, parce que le produit $\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} '_{i'}$ ne contient que des puissances impaires de $\mu .$

Cela posé, l’expression générale de $\mathrm {U}$ donne, pour sa valeur initiale, que nous avons désignée par $\mathrm {X}$,

$\mathrm {X} ={\frac {2c^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\pi }}}\left[1+\mathrm {Q^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)+\ldots +L^{(0)}\mu +L^{(1)}} \mu \left(1-{\frac {3}{2}}\mu ^{2}\right)+\ldots \right].$

Si l’on multiplie cette équation par $\mathrm {U} _{i}d\mu ,$ et si l’on prend les intégrales depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$ on aura, en vertu des théorèmes précédents,

$\int \mathrm {XU} _{i}d\mu ={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}}\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu c^{-\mu ^{2}},$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int \mathrm {XU} _{i}d\mu \,;$

on trouvera, de la même manière,

$\mathrm {L} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i+1){\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int \mathrm {XU} '_{i}d\mu .$

On aura donc ainsi les valeurs successives de $\mathrm {Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots ,L^{(0)},L^{(1)}} ,\ldots ,$ au moyen d’intégrales définies, lorsque $\mathrm {X}$ ou la valeur initiale de $\mathrm {U}$ sera donnée.

Dans le cas où $\mathrm {X}$ est égal à ${\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}c^{-i^{2}\mu ^{2}},$ l’expression générale de $\mathrm {U}$