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autres angles du triangle auquel il appartient ; autrement, l’erreur de la somme des trois angles ne serait pas le simple résultat des observations, comme les formules de probabilité le supposent. Cette remarque me paraît importante, pour démêler la vérité au milieu des légères incertitudes que les observations présentent.

1. Concevons, sur une sphère, un arc de grand cercle $\mathrm {AA'A''} \ldots ,$ et supposons que l’on ait formé autour la chaîne des triangles $\mathrm {ACC',CC'C'',C'C''C''',C''C'''C^{\text{ıv}}} ,\ldots ,$ dont les côtés $\mathrm {CC',C'C''} ,$$\mathrm {C''C'''} ,\ldots$ coupent cet arc en $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots .$ Je ne donne point de figure, parce qu’il est facile de la tracer d’après ces indications. Soient $\mathrm {A}$ l’angle $\mathrm {CAA',\ A} ^{(1)}$ l’angle $\mathrm {C'A'A'',\ A} ^{(2)}$ l’angle $\mathrm {C''A''A'''} ,\ldots .$ Soient encore $\mathrm {C}$ l’angle $\mathrm {ACC',\ C} ^{(1)}$ l’angle $\mathrm {CC'C'',\ C} ^{(2)}$ l’angle $\mathrm {C'C''C'''} ,\ldots .$ On aura

$\mathrm {A+A^{(1)}+C} -\alpha =\pi +t,$

$\alpha$ étant l’erreur de l’angle observé $\mathrm {C} ,\ t$ étant l’excès des angles du triangle sphérique $\mathrm {ACA} '$ sur $\pi$ qui exprime deux angles droits ou la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. On aura pareillement

$\mathrm {A^{(1)}+A^{(2)}+C^{(1)}} -\alpha ^{(1)}=\pi +t^{(1)},$

$\alpha ^{(1)}$ étant l’erreur de l’angle observé $\mathrm {CC'C''} ,$ et $t^{(1)}$ étant l’excès des angles du triangle sphérique $\mathrm {A'C'A''}$ sur deux angles droits. On formera semblablement les équations

${\begin{aligned}\mathrm {A^{(2)}+A^{(3)}+C^{(2)}} -\alpha ^{(2)}=&\pi +t^{(2)},\\\mathrm {A^{(3)}+A^{(4)}+C^{(3)}} -\alpha ^{(3)}=&\pi +t^{(3)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire facilement

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(2i)}=\mathrm {A} &+\mathrm {C-C^{(1)}+C^{(2)}-C^{(3)}} +\ldots +\mathrm {C} ^{2i-2}-\mathrm {C} ^{2i-1}\\&-\,\alpha +\alpha ^{(1)}-\,\alpha ^{(2)}+\,\alpha ^{(3)}-\ldots -\,\alpha ^{2i-2}+\,\alpha ^{2i-1}\\&-\,\ t+\,\ t^{(1)}-\,\ t^{(2)}+\,\ t^{(3)}-\ldots -\,\ t^{2i-2}+\,\ t^{2i-1}\\\mathrm {A} ^{(2i-1)}=\pi &-\mathrm {A} -\mathrm {C+C^{(1)}-C^{(2)}+C^{(3)}} -\ldots -\mathrm {C} ^{2i-2}\\&\qquad +\alpha -\,\alpha ^{(1)}+\,\alpha ^{(2)}-\alpha ^{(3)}+\ldots +\,\alpha ^{2i-2}\\&\qquad +\,\ t-\,\ t^{(1)}+\,\ t^{(2)}-\ t^{(3)}+\ldots +\,\ t^{2i-2}\,;\end{aligned}}$