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correspondantes, les signes $\Sigma ,'\Sigma ,''\Sigma ,\ldots$ étant les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéristiques $\Delta ,'\Delta ,''\Delta ,\ldots$ des différences.

Il est clair que $u\left({\frac {1}{t^{i}t^{'i'}t^{''i''}\ldots }}-1\right)^{n}$ est la fonction génératrice de la différence finie $n$^ième de $y_{x,x',x'',\ldots },\ x$ variant de $i,\ x'$ variant de $i',\ x''$ variant de $i'',\ldots .$ Or on a

$u\left({\frac {1}{t^{i}t^{'i'}t^{''i''}\ldots }}-1\right)^{n}$

$=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i'}\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)^{i''}\ldots -1\right]^{n}\,;$

en désignant donc par ${\overline {\Delta }}$ la caractéristique des différences, lorsque $x$ varie de $i,\ x'$ de $i',\ x''$ de $i'',\ldots .$ et par ${\overline {\Sigma }}$ la caractéristique intégrale correspondante, on aura

${\begin{aligned}{\overline {\Delta }}^{n}y_{x,x',x'',\ldots }=&\left[(1+'\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i}(1+''\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i'}\ldots -1\right]^{n},\\{\overline {\Sigma }}^{n}y_{x,x',x'',\ldots }=&{\frac {1}{\left[(1+'\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i}(1+''\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i'}\ldots -1\right]^{n}}},\end{aligned}}$

pourvu que, dans le développement du second membre de ces équations, on applique aux caractéristiques $'\Delta ,''\Delta ,\ldots$ les exposants des puissances de $'\Delta y_{x,x',x'',\ldots },''\Delta y_{x,x',x'',\ldots },$ et que l’on change les différences négatives en intégrales. On peut ainsi se dispenser d’indiquer les arbitraires que l’intégrale finie ${\overline {\Sigma }}^{n}$ doit introduire, parce qu’elles sont censées renfermées dans les intégrales que donne le développement de son expression.

Les deux équations précédentes ont encore lieu en supposant que dans les différences $'\Delta y_{x,x',x'',\ldots },''\Delta y_{x,x',x'',\ldots },\ldots ,x,x',x'',\ldots ,$ au lieu de varier de l’unité, varient d’une quantité quelconque $\varpi ,$ pourvu que, dans la différence ${\overline {\Delta }}y_{x,x',x'',\ldots },\ x$ varie de $i\varpi ,\ x'$ de $i'\varpi ,\ x''$ de $i''\varpi \ldots .$ Maintenant, si l’on suppose $\varpi$ infiniment petit, les différences $'\Delta y_{x,x',x'',\ldots },$$''\Delta y_{x,x',x'',\ldots },\ldots$ se changeront, la première dans $dx{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx}},$ la seconde dans $dx'{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx'}},$$\ldots .$ De plus, si l’on fait $i,i',i'',\ldots$ infiniment grands, et tels que l’on ait

$idx=\alpha ,\qquad i'dx'=\alpha ',\ldots ,$