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LIVRE PREMIER.

42. On a souvent besoin, dans l’analyse des hasards, de ne considérer dans l’expression de $\Delta ^{n}s^{i}$ que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance $i$ sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons la formule $(\mu ''')$ du numéro précédent. Si l’on y substitue au lieu de $\Delta ^{n}s^{i}$ sa valeur

$(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-\ldots ,$

et si l’on y change ensuite $s$ dans $-s,$ on aura, en ne continuant les deux séries du premier membre de l’équation suivante que jusqu’aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance $i$ devient négative, et observant que le signe $+$ a lieu si $n$ est pair et le signe $-$ si $n$ est impair.

${\begin{aligned}(1)^{i}&\left[(n-s)^{i}-n(n-s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-s-2)^{i}-\ldots \right]\\&\pm (-1)^{i}\left[s^{i}-n(s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-2)^{i}-\ldots \right]\\&={\frac {(-1)^{r+1}}{\pi }}\sin {\frac {m\pi }{n}}\int x^{i}dxc^{-x}\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}c^{sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}.\end{aligned}}$

Si l’on change dans la dernière intégrale $x$ en $-2x'{\sqrt {-1}},$ elle devient, après toutes les réductions,

$2^{n-i}(-1)^{\frac {n+i}{2}}\int x'^{n-i-1}dx'\left[\cos(2s-n)x'-{\sqrt {-1}}\sin(2s-n)x'\right]\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n},$

l’intégrale relative à $x'$ étant prise depuis $x'$ nul jusqu’à $x'$ infini. On aura donc

$(o)\left\{{\begin{aligned}&(1)^{i}\left[(n-s)^{i}-n(n-s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-s-2)^{i}-\ldots \right]\\&\pm (-1)^{i}\left[s^{i}-n(s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-2)^{i}-\ldots \right]\\&={\frac {(-1)^{r+1}}{\pi }}2^{n-i}(-1)^{\frac {n+i}{2}}\sin {\frac {m\pi }{n}}\int xdxc^{-x}\\&\times \int x'^{n-i-1}dx'\left[\cos(2s-n)x'-{\sqrt {-1}}\sin(2s-n)x'\right]\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}.\end{aligned}}\right.$