Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/528

sera, par le n^o 21, la probabilité que la fonction

$(m)\qquad \qquad \qquad q\varepsilon +q^{(1)}\varepsilon ^{(1)}+\ldots +q^{(s-1)}\varepsilon ^{(s-1)}$

sera égale à $l+\mu \,;$ cette probabilité est donc

(1)

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}c^{-\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)c^{qx\varpi {\sqrt {-1}}}\times \ldots ,$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ Le logarithme de la fonction

(2)

$c^{-\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)c^{qx\varpi {\sqrt {-1}}}\times \int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)c^{q^{(1)}x\varpi {\sqrt {-1}}}\ldots$

est

$-\mu \varpi {\sqrt {-1}}+\log \left[\int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)c^{qx\varpi {\sqrt {-1}}}\right]+\ldots .$

$n$ et $n'$ étant supposés des nombres infinis, si l’on fait

$\left({\frac {x}{n+n'}}\right)=x',\qquad \left({\frac {1}{n+n'}}\right)=dx'\,;$

si, de plus, on suppose

$k=\int dx'\varphi (x'),\quad k'=\int x'dx'\varphi (x'),\quad k''=\int x'^{2}dx'\varphi (x'),\quad \ldots ,$

les intégrales étant prises depuis $x'=-\left({\frac {n}{n+n'}}\right)$ jusqu’à $x'=-\left({\frac {n'}{n+n'}}\right),$ on aura

$\int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)c^{qx\varpi {\sqrt {-1}}}=(n+n')k\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {k'}{k}}q(n+n')\varpi {\sqrt {-1}}\\&-{\frac {k''}{2k}}q^{2}(n+n')^{2}\varpi ^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$

L’erreur de chaque observation devant tomber dans les limites $-n$ et $+n',$ et la probabilité que cela aura lieu étant $\int \varphi \left({\frac {x}{n+n'}}\right)$ ou $(n+n')k,$ cette quantité doit être égale à l’unité. De là il est facile de conclure que le logarithme de la fonction (2) est, en faisant $\mu '={\frac {\mu }{n+n'}},$

$\left({\frac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)}-\mu '\right)(n+n')\varpi {\sqrt {-1}}-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}\mathrm {S} q^{(i)2}(n+n')^{2}\varpi ^{2}+\ldots ,$