Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/325

137

LIVRE PREMIER.

leur donnée par l’équation (O),

$\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {2\mu \pi (-1)^{-\mu +{\frac {1}{2}}}}{\int x^{\mu }dxc^{-x}}}={\frac {2\pi (-1)^{-\mu +{\frac {1}{2}}}}{\int x^{\mu -1}dxc^{-x}}},$

la première intégrale étant prise entre les deux valeurs imaginaires de $x$ qui rendent nulle la quantité ${\frac {c^{-x}}{x^{\mu }}},$ et les deux autres intégrales étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, ce qui donne un moyen facile de transformer dans celles-ci les intégrales $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\mu }}}$ et $\int {\frac {dx\cos x}{x^{\mu }}}.$

34. Considérons maintenant l’équation générale

$0=(a'+b's)y_{s+1}i-(a+bs)y_{s}.$

Si l’on fait

${\frac {a}{b}}=n,\qquad {\frac {a'}{b'}}=n'+1,\qquad {\frac {b}{b'}}=p,$

elle prend cette forme

$0=(n'+s+1)y_{s+1}-(n+s)py_{s}.$

Supposons

$y_{s}=\int x^{s-1}\varphi dx\,;$

nous aurons, en intégrant par parties,

$0=x'\varphi (x-p)+\int x^{s-1}\left[\varphi dx(n'x-np)+(p-x)xd\varphi \right].$

Cette équation donne, pour déterminer $\varphi ,$ la suivante

$0=(n'x-np)\varphi d+(p-x)xd\varphi ,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} x^{n}(p-x)^{n'-n},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. On aura ensuite, pour déterminer les limites de l’intégrale, l’équation

$0=x^{s}\varphi (p-x)$

ou

$0=x^{n+s}(p-x)^{n'+1-n}.$