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On pourra donc former aisément $\mathrm {S} r^{(i)2}$ et $\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}$ au moyen des coefficients de ${\overline {\alpha }},{\overline {\text{ϐ}}},{\overline {\alpha }}^{(1)},\ldots$ dans les fonctions $(o)$ et $(p).$

Si l’on avait mesuré d’autres bases, on aurait, par l’analyse du n^o 21 du Livre II, les corrections qu’il faudrait faire à l’arc mesuré, et la loi de ses erreurs.

La mesure d’une nouvelle base peut servir à corriger, non seulement l’arc mesuré, mais encore la différence en longitude de ses points extrêmes ou l’angle $\mathrm {A} ^{(n)}.$ Il suffira de substituer à la fonction $(o)$ celle-ci

$\pm \left({\overline {\alpha }}-{\overline {\alpha }}^{(1)}+{\overline {\alpha }}^{(2)}-\ldots \right)$

qui exprime l’erreur de $\mathrm {A} ^{(n)},$ le signe supérieur ayant lieu si $n$ est impair, et l’inférieur si $n$ est pair. Alors on a

$p=\pm 1,\quad q=0,\quad p^{(1)}=\mp 1,\quad q^{(1)}=0,\quad \ldots \,;$

de là il est facile de conclure que, pour corriger l’angle $\mathrm {A} ^{(n)},$ il faut lui ajouter la quantité

${\frac {\mp \lambda \left(l-l^{(1)}+l^{(2)}-\ldots -{\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}m^{(1)}-\ldots \right)}{l^{2}-ml+m^{2}+l^{(1)2}-m^{(1)}l^{(1)}+m^{(1)2}+\ldots }}.$

La probabilité que l’erreur de $\mathrm {A} ^{(n)},$ ainsi corrigé est dans les limites $\pm u$ sera

${\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à

$t={\frac {u{\sqrt {{\frac {3}{2}}h}}}{\sqrt {n-{\cfrac {\left(l-l^{(1)}+l^{(2)}-\ldots -{\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}m^{(1)}-\ldots \right)^{2}}{l^{2}-ml+m^{2}+l^{(1)2}-\ldots }}}}}.$

4. Nous sommes parvenus aux résultats précédents en partant de la loi de probabilité de l’erreur $\alpha$ proportionnelle à $c^{-h\alpha ^{2}},$ et nous avons prouvé que cette loi de probabilité peut être admise à l’égard des angles mesurés avec le cercle répétiteur. Nous allons faire voir ici que ces résultats ont lieu généralement, quelle que soit la loi de probabilité de l’erreur $\alpha .$ Soit $\varphi (\alpha )$ cette loi. Nous la supposerons telle que les