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LIVRE PREMIER.
étant données par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}},\\l=&-{\frac {i+1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2},\\l'=&-{\frac {i+1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{3},\\l''=&-{\frac {i+1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{4},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741a26eb131a3efe8f4cdfcb4c8054f37ec13728)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La série
cesse d’être convergente lorsque
est une très petite fraction de l’ordre
car il est visible que, les quantités
formant alors une progression croissante, chaque terme de la série est du même ordre que celui qui le précède. Pour déterminer dans quel cas
est très petit, reprenons l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8e449b7e5dfb911e85d147283ea3bea4d189f3)
On peut la transformer dans la suivante, lorsque
est très petit,
![{\displaystyle 0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {n}{a}}\left(1+{\frac {a}{2}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ff889df266e608e79fc30e6314753995021ea4)
d’où l’on tire à très peu près, dans la supposition de
très petit,
![{\displaystyle a={\frac {i+1-n}{s+{\frac {n}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d23592455e7bf127470702ad6628d4a315398d)
ainsi
sera fort petit toutes les fois que
sera peu considérable relativement à
Dans ce cas, on déterminera
par la méthode suivante.
Reprenons l’équation
![{\displaystyle \Delta ^{n}s^{i}={\frac {\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{a}}{\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}c^{-x}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86518f46df0aecdbeb9d48287655add338cf1c0)