Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/351

163

LIVRE PREMIER.

$a,l,l',l'',\ldots$ étant données par les équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}},\\l=&-{\frac {i+1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2},\\l'=&-{\frac {i+1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{3},\\l''=&-{\frac {i+1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\right)^{4},\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La série $(\mu ')$ cesse d’être convergente lorsque $a$ est une très petite fraction de l’ordre ${\frac {1}{n}}\,;$ car il est visible que, les quantités $l,l',l'',\ldots$ formant alors une progression croissante, chaque terme de la série est du même ordre que celui qui le précède. Pour déterminer dans quel cas $a$ est très petit, reprenons l’équation

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}}.$

On peut la transformer dans la suivante, lorsque $a$ est très petit,

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {n}{a}}\left(1+{\frac {a}{2}}+\ldots \right),$

d’où l’on tire à très peu près, dans la supposition de $a$ très petit,

$a={\frac {i+1-n}{s+{\frac {n}{2}}}}\,;$

ainsi $a$ sera fort petit toutes les fois que $i-n$ sera peu considérable relativement à $s+{\frac {n}{2}}.$ Dans ce cas, on déterminera $\Delta ''s^{i}$ par la méthode suivante.

Reprenons l’équation

$\Delta ^{n}s^{i}={\frac {\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{a}}{\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}c^{-x}}},$