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gence est rapide ; car le reste de la série, que l’on néglige, est le développement d’une fonction algébrique ou intégrale, très petite par rapport à ce qui précède. Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons le développement en série, de l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}},$ prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t$ infini. On a, par le n^o 27,

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} }}\left(1-{\frac {1}{2\mathrm {T} ^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}\mathrm {T} ^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2^{3}\mathrm {T} ^{6}}}+\ldots \right).$

Cette série finit par être divergente, quelque grande que soit la valeur que l’on suppose à $\mathrm {T} \,;$ mais alors on peut employer sans erreur sensible ses premiers termes. En effet, si l’on considère, par exemple, ses quatre premiers termes, le reste de la série sera ${\frac {1.3.5.7}{2^{4}}}\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{8}}}\,;$ or cette quantité, abstraction faite du signe, est plus petite que le terme $-{\frac {1.3.5.c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2^{4}\mathrm {T} ^{7}}}$ qui précède, c’est-à-dire que l’on a

${\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{\mathrm {T} ^{7}}}<7\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{8}}}\,;$

car on a

$7\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{8}}}=\mathrm {const} .-{\frac {c^{-t^{2}}}{t^{7}}}-2\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{6}}}.$

En déterminant la constante de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $t=\mathrm {T} ,$ on aura ${\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{\mathrm {T} ^{7}}}$ pour cette constante ; on aura donc, en prenant l’intégrale depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t$ infini,

$7\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{8}}}={\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{\mathrm {T} ^{7}}}-2\int {\frac {dtc^{-t^{2}}}{t^{6}}}.$

La série précédente peut donc être employée tant qu’elle est convergente, puisque l’on est sur que ce que l’on néglige est au-dessous du terme auquel on s’arrête.

Cette série jouit encore de cette propriété, savoir, qu’elle est alternativement plus grande et plus petite que sa valeur entière, suivant que l’on s’arrête à un terme positif ou à un terme négatif. On peut nommer, par cette raison, ce genre de séries, séries limites. Au reste, on a vu dans le n^o 27 que, dans le cas où elles sont divergentes, on