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déterminer le rapport de ${\text{ϐ}}'$ à ϐ ; or on a, par le n^o 40,

$q={\text{ϐ}}\sum p^{x}y_{x},$

${\frac {1-p}{p}}$ étant l’intérêt annuel de l’argent. On a ensuite, par le même numéro,

$2q={\text{ϐ}}'\sum p^{x}\left[2y_{x}-(y_{x})^{2}\right]\,;$

on a donc

${\text{ϐ}}'={\frac {2{\text{ϐ}}\sum p^{x}y_{x}}{\sum p^{x}\left[2y_{x}-(y_{x})^{2}\right]}}.$

Les Tables de mortalité donneront les valeurs de $\sum y_{x},\sum (y_{x})^{2},\sum p^{x}y_{x},$$\sum p^{x}(y_{x})^{2}\,;$ on pourra ainsi juger lequel des deux placements dont il s’agit est le plus avantageux.

Supposons ϐ et ${\text{ϐ}}'$ de très petites fractions ; la quantité $\log(1+{\text{ϐ}})\sum y_{x}$ devient à très peu près ϐ$\sum y_{x}.$ La quantité

$\log \left(1+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}'\right)\sum (y_{x})^{2}+\log(1+{\text{ϐ}}')\left[\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]$

devient

${\frac {{\text{ϐ}}'}{2}}\left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right],$

et, en substituant pour ${\text{ϐ}}'$ sa valeur précédente, elle devient

${\text{ϐ}}{\frac {\left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]\sum p^{x}y_{x}}{2\sum p^{x}y_{x}-\sum p^{x}(y_{x})^{2}}}\,;$

il y a donc de l’avantage à placer conjointement, si

$\left[2\sum y_{x}-\sum (y_{x})^{2}\right]\sum p^{x}y_{x}$

l’emporte sur

$\left[2\sum p^{x}y_{x}-\sum p^{x}(y_{x})^{2}\right]\sum y_{x},$

ou si l’on a

${\frac {\sum p^{x}(y_{x})^{2}}{\sum p^{x}y_{x}}}>{\frac {\sum (y_{x})^{2}}{\sum y_{x}}}\,;$

c’est en effet ce qui a lieu généralement, $p$ étant plus petit que l’unité.

L’avantage de placer conjointement les capitaux s’accroît par la considération que l’augmentation ${\frac {{\text{ϐ}}'}{2}}$ de revenu arrive au survivant, à un