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On voit ainsi que la somme des erreurs la plus probable, abstraction faite du signe, est celle qui répond à $r=0.$ Cette somme est ${\frac {2k'}{k}}as.$ Dans le cas où $\varphi (x)$ est constant, ${\frac {2k'}{k}}={\frac {1}{2}}\,;$ la somme des erreurs la plus probable est donc alors la moitié de la plus grande somme possible, somme qui est égale à $sa.$ Mais, si $\varphi (x)$ n’est pas constant et diminue à mesure que l’erreur $x$ augmente, alors ${\frac {2k'}{k}}$ est moindre que ${\frac {1}{2}},$ et la somme des erreurs, abstraction faite du signe, est au-dessous de la moitié de la plus grande somme possible.

On peut, par la même analyse, déterminer la probabilité que la somme des carrés des erreurs sera $l+\mu s\,;$ il est facile de voir que cette probabilité a pour expression l’intégrale

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-(l+\mu s)\varpi {\sqrt {-1}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)c^{\varpi {\sqrt {-1}}}&+2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)c^{2^{2}\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)c^{n^{2}\varpi {\sqrt {-1}}}\end{aligned}}\right\},$

prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ En suivant exactement l’analyse précédente, on aura

$\mu ={\frac {2n^{2}k''}{k}},$

et en faisant

${\text{ϐ}}'={\frac {k}{\sqrt {kk^{\text{ıv}}-2k''^{2}}}},$

la probabilité que la somme des carrés des erreurs des $s$ observations sera comprise dans les limites ${\frac {2k''}{k}}a^{2}s\pm a^{2}r{\sqrt {s}}$ sera

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}'drc^{-{\frac {{\text{ϐ}}^{2}r^{2}}{4}}}.$

La somme la plus probable est celle qui répond à $r$ nul ; elle est donc ${\frac {2k''}{k}}a^{2}s.$ Si $s$ est un très grand nombre, le résultat des observations s’écartera très peu de cette valeur, et par conséquent il fera connaître à très peu près le facteur ${\frac {a^{2}k''}{k}}.$