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l’on restitue, au lieu de $v,$ sa valeur $u{\sqrt {s}},$ cette exponentielle devient

$c^{-\mathrm {P} u^{2}},$

en faisant

$\mathrm {P} ={\frac {s\mathrm {S} p_{n-1}^{(i)2}}{2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}}}.$

$u$ étant l’erreur de la valeur de $z,\ \mathrm {P}$ est ce que je nomme poids de cette valeur. La probabilité que cette erreur est comprise dans des limites données est donc

${\frac {\int du{\sqrt {\mathrm {P} }}c^{-\mathrm {P} u^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise dans ces limites, et $\pi$ étant la circonférence dont le diamètre est l’unité. Mais il est plus simple d’appliquer le procédé dont nous venons de faire usage aux équations finales qui déterminent les éléments, pour les réduire à une seule, ce qui donne une méthode facile de résoudre ces équations.

2. Reprenons l’équation générale de condition, et, pour plus de simplicité, bornons-la aux six éléments $z,z',z'',z''',z^{\text{ıv}},z^{\mathrm {v} }\,;$ elle devient alors

(1)

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+r^{(i)}z''+t^{(i)}z'''+\gamma ^{(i)}z^{\text{ıv}}+\lambda ^{(i)}z^{\mathrm {v} }-\alpha ^{(i)}.$

En la multipliant par $\lambda ^{(i)}$ et réunissant tous les produits semblables, on aura

$\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=z\mathrm {S} \lambda ^{(i)}p^{(i)}+z'\mathrm {S} \lambda ^{(i)}q^{(i)}+\ldots -\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\alpha ^{(i)},$

le signe intégral $\mathrm {S}$ s’étendant à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1,\ s$ étant le nombre des observations employées. Par les conditions de la méthode la plus avantageuse, on a $\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0\,;$ l’équation précédente donnera donc

${\begin{aligned}z^{\mathrm {v} }=&-z^{\text{ıv}}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\gamma ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}-z'''{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}t^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}-z''{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}r^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}\\&-z'{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}q^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}-z{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}p^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}+{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\alpha }{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}.\end{aligned}}$