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LIVRE PREMIER.

Si l’on prend l’intégrale $\int {\frac {dxc^{-sx}}{x^{i+1}}}$ depuis $x=\alpha$ jusqu’à $x$ infini, on aura, en faisant $i=r+{\frac {m}{n}},$ la fonction

${\frac {(-1)^{r}c^{-s\alpha }}{{\cfrac {m}{n}}\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i\alpha ^{\frac {m}{n}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}s^{r}&-{\frac {m}{n}}{\frac {s^{r-1}}{\alpha }}+{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {m}{n}}\right){\frac {s^{r-2}}{\alpha ^{2}}}-\ldots \\&+(-1)^{r}{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i{\frac {1}{\alpha ^{r}}}\end{aligned}}\right\}$

$+{\frac {(-1)^{r+1}s^{r+1}}{{\cfrac {m}{n}}\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i}}\int {\frac {dxc^{-sx}}{x^{\frac {m}{n}}}}.$

Or on a généralement, lorsque $\alpha$ est infiniment petit.

${\frac {\Delta ^{n}c^{-s\alpha }s^{r-f}}{\alpha ^{f}}}=0,$

$f$ étant zéro ou un nombre entier positif ; car, si l’on développe $c^{-s\alpha }$ en série, et que l’on désigne par $k\alpha ^{q}s^{q}$ un terme quelconque de cette série, on aura

$k\alpha ^{q-f}\Delta ^{n}s^{q+r-f}=0.$

En effet, si $q$ surpasse $f,$ ce terme devient nul par la supposition de $\alpha$ infiniment petit. Si $q$ est égal ou moindre que $f,\ q+r-f$ sera égal ou moindre que $r$, et, par conséquent, il sera plus petit que $n$, et alors, par la propriété connue des différences finies, $\Delta ^{n}s^{q+r-f}$ sera nul. Il suit de là que $\Delta ^{n}\int {\frac {dxc^{-sx}}{x^{i+1}}}$ ou $\int {\frac {dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)}{x^{i+1}}}$ se réduit à

${\frac {(-1)^{r+1}\Delta ^{n}s^{r+1}\int {\cfrac {dxc^{-sx}}{x^{\frac {m}{n}}}}}{{\cfrac {m}{n}}\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à infini. Si l’on fait $x={\frac {x'}{s}},$ on aura

$\int {\frac {dxc^{-sx}}{x^{\frac {m}{n}}}}=s^{{\frac {m}{n}}-1}\int {\frac {dx'c^{-x'}}{x'^{\frac {m}{n}}}},$