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par ces causes, dans l’intervalle de temps $\Delta x\,;$ ce sera donc la valeur de $-\Delta u\,;$ j’affecte $\Delta u$ du signe $-,$ parce que $u$ diminue à mesure que $x$ augmente ; on a donc

$-\Delta u=u\Delta x(\varphi +z).$

On aura pareillement

$-\Delta \mathrm {U=U} \Delta x.$

En éliminant $\varphi$ de ces deux équations, on aura

$\mathrm {\frac {\Delta U}{U}} ={\frac {\Delta u}{u}}+z\Delta x.$

$\Delta x$ étant une quantité très petite, on peut transformer la caractéristique $\Delta$ dans la caractéristique différentielle $d,$ et alors l’équation précédente devient

${\frac {d\mathrm {U} }{\mathrm {U} }}={\frac {du}{u}}+zdx\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et observant qu’à l’âge zéro $\mathrm {U} =u=n,$

(3)

$\mathrm {U} =uc^{\int zdx},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul. On peut obtenir cette intégrale, au moyen des registres de mortalité, dans lesquels on tient compte de l’âge des individus morts et des causes de leur mort. En effet, $uz\Delta x$ étant, par ce qui précède, le nombre de ceux qui, parvenus à l’âge $x,$ ont péri dans l’intervalle de temps $\Delta x,$ par la maladie dont il s’agit, on aura à très peu près l’intégrale $\int zdx,$ en supposant $\Delta x$ égal à une année, et en prenant depuis la naissance des $n$ enfants que l’on a considérés, jusqu’à l’année $x,$ la somme des fractions qui ont pour numérateur le nombre des individus que la maladie a fait périr chaque année, et pour dénominateur, le nombre des $n$ enfants qui vivent encore au milieu de la même année. Ainsi l’on pourra transformer, au moyen de l’équation (3), une Table de mortalité ordinaire, dans celle qui aurait lieu si la maladie dont il s’agit n’existait pas.

La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même individu n’en est jamais deux fois atteint, ou du moins ce cas est si rare, que,