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$(u'),\left({\frac {du'}{dx}}\right),\ldots$ les valeurs de $u,{\frac {du}{dx}},\ldots ,$ correspondantes à $x=1$ et à $x=n+1\,;$ on aura

$(o)\qquad \sum {\frac {hp^{x}y_{x}}{y_{0}}}=h\left\{{\begin{aligned}&{\frac {p}{1-p}}\left[(u)-p^{n}(u')\right]\\+&{\frac {p^{2}}{(1-p)^{2}}}\left[\left({\frac {du}{dx}}\right)-p^{n}\left({\frac {du'}{dx}}\right)\right]\\+&{\frac {(p+1)p^{2}}{1.2.(1-p)^{3}}}\left[\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)-p^{n}\left({\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

Si $u$ ou ${\frac {y_{x}}{y_{0}}}$ est constant et égal à l’unité, depuis $x=1$ jusqu’à $x=n,$ alors la rente viagère doit être payée certainement pendant le nombre $n$ d’années, et elle devient une annuité. Dans ce cas, ${\frac {du}{dx}}$ est nul, et la formule précédente donne ${\frac {hp\left(1-p^{n}\right)}{1-p}}$ pour le capital équivalent à l’annuité $h.$

Si $u=1-{\frac {x}{n}},$ alors la probabilité de la vie décroît en progression arithmétique, et la formule précédente donne

${\frac {hp}{1-p}}\left[1-{\frac {1-p^{n}}{n(1-p)}}\right]$

pour le capital équivalent à la rente viagère $h,$ et ainsi de suite.

Supposons maintenant que l’on veuille constituer une rente viagère $h$ sur plusieurs individus des âges $\mathrm {A,A} +a,\mathrm {A} +a+a',\ldots ,$ de sorte que la rente reste au survivant. Désignons par $y_{x},y_{x+a},y_{x+a+a'},\ldots$ les nombres de la Table de mortalité, correspondants aux âges $\mathrm {A,A} +a,\mathrm {A} +a+a',\ldots ,$ la probabilité qu’a le premier individu de vivre à l’âge $\mathrm {A} +x$ étant ${\frac {y_{x}}{y_{0}}},$ la probabilité qu’à cet âge il aura cessé de vivre est $1-{\frac {y_{x}}{y_{0}}}.$ Pareillement, la probabilité qu’a le deuxième individu de vivre à l’âge $\mathrm {A} +a+x$ ou à la fin de la $x$^ième année de la constitution de la rente étant ${\frac {y_{x+a}}{y_{a}}},$ la probabilité qu’il aura cessé de vivre alors est $1-{\frac {y_{x+a}}{y_{a}}}\,;$ la probabilité que le troisième individu aura cessé de vivre, à la même époque de la constitution de la rente, est