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en sorte qu’il y a un peu moins d’un contre un à parier que tous les numéros sortiront $dans$ 85 tirages, et un peu plus d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans $86$ tirages.

Un moyen fort simple et très approché d’obtenir la valeur de $i$ est de supposer ${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}},$ ou la série

$1-n\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left({\frac {n-2}{n}}\right)^{i}-\ldots ,$

égale au développement

$1-n\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2i}-\ldots$

du binôme $\left[1-n\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{i}\right]^{n}.$ En effet les deux séries ont les deux premiers termes égaux respectivement. Leurs troisièmes termes sont aussi, à très peu près, égaux entre eux ; car on a à fort peu près $\left({\frac {n-2}{n}}\right)^{i}$ égal à $\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2i}.$ En effet, leurs logarithmes hyperboliques sont, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {i}{n^{2}}},$ égaux l’un et l’autre à $-{\frac {i}{n}}.$ On verra de la même manière que les quatrièmes termes, les cinquièmes, … sont très peu différents, lorsque $n$ et $i$ sont de très grands nombres ; mais la différence s’accroît sans cesse à mesure que les termes s’éloignent du premier, ce qui doit à la fin en produire une sensible entre les séries elles-mêmes. Pour l’apprécier, déterminons la valeur de $i$ conclue de l’égalité des deux séries. En égalant à ${\frac {1}{k}}$ le binôme $\left[1-n\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{i}\right]^{n},$ on aura

$i={\frac {\log \left(1-{\sqrt[{n}]{\cfrac {1}{k}}}\right)}{\log \left({\cfrac {n-1}{n}}\right)}},$

ces logarithmes pouvant être, à volonté, hyperboliques ou tabulaires. Soit ${\sqrt[{n}]{\frac {1}{k}}}=1-z.$ Nous aurons, en prenant les logarithmes hyperbo-