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De là résultent plusieurs conséquences importantes. L’une d’elles est que le jeu mathématiquement le plus égal est toujours désavantageux. En effet, si l’on désigne par $a$ la fortune physique du joueur avant de commencer le jeu ; par $p$ sa probabilité de gagner, et par $\mu$ sa mise, celle de son adversaire doit être, pour l’égalité du jeu, ${\frac {(1-p)\mu }{p}}\,;$ ainsi le joueur gagnant la partie, sa fortune physique devient $a+{\frac {(1-p)}{p}}\mu ,$ et la probabilité de cela est $p.$ S’il perd la partie, sa fortune physique devient $a-\mu ,$ et la probabilité de cela est $1-p\,;$ en nommant donc $\mathrm {X}$ sa fortune physique, en vertu de son expectative, on aura, par ce qui précède,

$\mathrm {X} =\left(a+{\frac {(1-p)}{p}}\mu \right)^{p}(a-\mu )^{1-p}\,;$

or cette quantité est plus petite que $a,$ c’est-à-dire que l’on a

$\left(1+{\frac {(1-p)}{p}}{\frac {\mu }{a}}\right)^{p}\left(1-{\frac {\mu }{a}}\right)^{1-p}<1$

ou, en prenant les logarithmes hyperboliques,

$p\log \left(1+{\frac {(1-p)}{p}}{\frac {\mu }{a}}\right)+(1-p)\log \left(1-{\frac {\mu }{a}}\right)<0.$

Le premier membre de cette équation peut être mis sous la forme

$\int (1-p){\frac {d\mu }{a}}\left({\frac {1}{1+{\cfrac {(1-p)}{p}}{\cfrac {\mu }{a}}}}-{\frac {1}{1-{\cfrac {\mu }{a}}}}\right),$

quantité qui est évidemment négative.

Il résulte encore de l’analyse préxîédente qu’il vaut mieux exposer sa fortune par parties à des dangers indépendants les uns des autres, que de l’exposer tout entière au même danger. Pour le faire voir, supposons qu’un négociant, ayant à faire venir par mer une somme $\varepsilon ,$ l’expose sur un seul vaisseau, et que l’observation ait fait connaître la probabilité $p$ de l’arrivée d’un vaisseau du même genre dans le port ; l’avantage mathématique du négociant, résultant de son expectative,