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Cette probabilité varie avec $z\,;$ on aura donc la probabilité d’une valeur quelconque de $z$ en multipliant cette quantité par $dz$ et divisant le produit par l’intégrale de ce produit, prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty .$ Soit

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}+u\,;$

cette probabilité devient

$du{\sqrt {\frac {k\mathrm {S} p^{(i)2}}{\pi }}}c^{-ku^{2}\mathrm {S} p^{(i)2}},$

en sorte que, si l’on décrit une courbe dont le coefficient de $du$ soit l’ordonnée et dont $u$ soit l’abscisse, cette courbe, étendue depuis $u=-\infty$ jusqu’à $u=\infty ,$ peut être considérée comme la courbe des probabilités des erreurs $u,$ dont le résultat

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}$

est susceptible. L’ordonnée qui divise l’aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond à $u=0,$ et par conséquent à $z$ égal à ${\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}\,;$ ce résultat est donc celui qu’il faut choisir ; or il est le même que celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations ; la loi précédente des erreurs de chaque observation conduit donc aux mêmes résultats que cette méthode.

La méthode des moindres carrés des erreurs devient nécessaire lorsqu’il s’agit de prendre un milieu entre plusieurs résultats donnés, chacun, par l’ensemble d’un grand nombre d’observations de divers genres. Supposons qu’un même élément soit donné : 1^o par le résultat moyen de $s$ observations d’un premier genre et qu’il soit, par ces observations, égal à $\mathrm {A} \,;$ 2^o par le résultat moyen de $s'$ observations d’un deuxième genre et qu’il soit égal à $\mathrm {A} +q\,;$ 3^o par le résultat moyen de $s''$ observations d’un troisième genre et qu’il soit égal à $\mathrm {A} +q',$ et ainsi du reste. Si l’on représente par $\mathrm {A} +x$ l’élément vrai, l’erreur du résul-