Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/225

37

LIVRE PREMIER.

ce qui donne

${\begin{aligned}h\quad =&{\frac {b}{\alpha }}+{\frac {c}{\alpha ^{2}}}+{\frac {e}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,\\h^{(1)}=&{\frac {c}{\alpha ^{2}}}+{\frac {e}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,\\h^{(2)}=&{\frac {e}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {S} y_{x}\alpha ^{x}=&{\frac {{\cfrac {b}{\alpha }}+{\cfrac {c}{\alpha ^{2}}}+{\cfrac {e}{\alpha ^{3}}}+\ldots }{k}}\alpha ^{x}\left(y_{x}+{\frac {\nabla y_{x}}{k}}+{\frac {\nabla ^{2}y_{x}}{k^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {{\cfrac {c}{\alpha }}+{\cfrac {e}{\alpha ^{2}}}+\ldots }{k}}\alpha ^{x}\left(y_{x+1}+{\frac {\nabla y_{x+1}}{k}}+{\frac {\nabla ^{2}y_{x+1}}{k^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {{\cfrac {e}{\alpha }}+\ldots }{k}}\alpha ^{x}\left(y_{x+2}+{\frac {\nabla y_{x+2}}{k}}+{\frac {\nabla ^{2}y_{x+2}}{k^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En faisant $x=0,$ on aura une transformée de la suite proposée, dont les termes suivront une autre loi, et si les quantités $\nabla y_{x},\nabla ^{2}y_{x},\ldots$ vont en décroissant, cette suite sera convergente. Elle se terminera toutes les fois que l’on aura $\nabla ^{r}y_{x}=0,$ ce qui aura lieu lorsque la proposée sera une suite récurrente. On aura donc ainsi la somme des suites récurrentes, à compter d’un terme quelconque $y_{x}\alpha ^{x},$ et par conséquent on aura aussi la somme de leurs termes, comprise entre deux termes quelconques $y_{x}\alpha ^{x}$ et $y_{x'}\alpha ^{x'}$

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en séries.

10. En appliquant à des fonctions particulières les principes généraux exposés dans le n^o 1, on aura une infinité de théorèmes sur le développement des fonctions en séries. Nous allons présenter ici les plus remarquables.