Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/103

le n^o  1 n’est pas sorti, et la probabilité de cet événement est ${\frac {99}{100}}$. Mais l’accord des témoins exige alors qu’en cherchant à tromper, ils choisissent tous deux le n^o  1, sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de ce choix est le produit de la fraction ${\frac {1}{99}}$ par elle-même ; il faut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble et par le produit des probabilités ${\frac {1}{10}}$ et ${\frac {3}{10}}$ que les témoins trompent ; on aura ainsi ${\frac {1}{330000}}$ pour la probabilité de l’événement observé, dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n^o  1, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses ; cette probabilité sera donc ${\frac {2079}{2080}}$, et la probabilité de là non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera ${\frac {1}{2080}}$.

Si l’urne ne renfermait que les n^os et 2, on trouverait de la même manière ${\frac {21}{22}}$ pour la probabilité de la sortie n^o  2, et par conséquent pour la probabilité du mensonge des témoins, probabilité quatre-vingt quatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue, quand le fait qu’ils attestent est moins probable en lui-même. En effet, on conçoit qu’alors l’accord des témoins, lorsqu’ils trompent, devient plus difficile, à moins qu’ils ne s’entendent, ce que nous ne supposons pas ici.

Dans le cas précédent, où, l’urne ne renfermant que deux numéros, la probabilité a priori du fait attesté est ${\frac {1}{2}}$, la probabilité résultante des témoignages est le produit des véracités des témoins, divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.

Il nous reste à considérer l’influence du temps sur la probabilité des faits transmis par une chaîne traditionnelle de témoins. Il est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n’a aucune probabilité par lui-même, celle qu’il acquiert par les témoignages décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité, si, par exemple, ce fait est la sortie du n^o  2 d’une urne qui en renferme un nombre fini