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tion génératrice de $y_{x'}$ est donc

${\frac {1+nt'}{1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}}}.$

On a ensuite évidemment $y_{1,1},$ ce qui donne $y'_{1}={\frac {1}{2}}\,;\ y'_{1}$ est le coefficient de $t'$ dans le développement de la fonction précédente, et ce coefficient est $n+{\frac {1}{4}}\,;$ on a donc $n+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}},$ ou $n={\frac {1}{4}}.$ La fonction génératrice de l’unité est ${\frac {1}{1-t'}},$ parce qu’ici toutes les puissances de $t'$ peuvent être admises ; on a ainsi

${\frac {1}{1-t'}}-{\frac {1+{\frac {1}{4}}t'}{1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}}},\quad$ou$\quad {\frac {{\frac {1}{2}}t'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}},$

pour la fonction génératrice de $y_{1,x'}.$ Cette même fonction est le coefficient de $t$ dans le développement de la fonction génératrice de $y_{x,x'},$ fonction qui, par ce qui précède, est

${\frac {{\frac {t'}{1-t'}}\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)+\mathrm {N} t}{1-{\frac {1}{4}}t-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t^{2}-{\frac {1}{4}}t'^{2}}}\,;$

ce coefficient est

${\frac {{\frac {1}{4}}t'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}}+{\frac {\mathrm {N} }{1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}}}\,;$

en l’égalant à

${\frac {{\frac {1}{4}}t'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}},$

on aura

$\mathrm {N} ={\frac {{\frac {1}{4}}t'}{1-t'}}.$

La fonction génératrice de $y_{x,x'}$ est ainsi

${\frac {t'\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)+{\frac {1}{4}}tt'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{4}}t-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t^{2}-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}}.$

Si l’on développe en série la fonction

${\frac {t'\left(1-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)+{\frac {1}{4}}tt'}{\left(1-{\frac {1}{4}}t-{\frac {1}{4}}t'-{\frac {1}{4}}t^{2}-{\frac {1}{4}}t'^{2}\right)}}-t',$