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$\mathrm {Y}$ étant, comme ci-dessus, égal à $y_{-\mu }.$ Si l’on compare cette expression de $y_{-s}$ à la précédente, et si l’on observe que $s-\mu$ est un nombre entier et qu’ainsi l’on a $(-1)^{2s-2\mu }=1,$ on aura

${\frac {1}{(\mu +1)(\mu +2)\ldots (s-1)}}={\frac {\mu {\sqrt {2\pi }}c^{s-\mu }\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+{\cfrac {1}{288s^{2}}}-\ldots \right)}{s^{s-{\frac {1}{2}}}\int \mathrm {Q} d\varpi }}.$

En divisant les deux membres de cette équation par $s$ et les renversant ensuite, on aura

$(\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{\mu -s}}{\mu {\sqrt {2\pi }}}}\left(1+{\cfrac {1}{12s}}+\ldots \right)\int \mathrm {Q} d\varpi .$

Si l’on compare cette équation à la formule $(q')$ du numéro précédent, on a ce résultat remarquable

(O)

$\int \mathrm {Q} d\varpi ={\frac {2\mu \pi c^{-\mu }}{\int x^{\mu }dxc^{-x}}}.$

Je suis parvenu à cette équation générale dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782, par l’analyse précédente, fondée, comme on voit, sur le passage du réel à l’imaginaire. En faisant successivement, dans $\mathrm {Q} ,\mu =1,\ \mu =2,\ \mu =3,\ldots ,$ on aura les valeurs d’un nombre infini d’intégrales définies ; ainsi, dans le cas de $\mu =1,$ l’équation (O) donne

$\int {\frac {d\varpi (\cos \varpi +\varpi \sin \varpi )}{1+\varpi ^{2}}}={\frac {\pi }{c}},$

formule que j’ai donnée pareillement dans les Mémoires cités. Cette formule et toutes celles du même genre peuvent se vérifier par les formules du n^o 26 ; car on a, par ce numéro,

$\int {\frac {d\varpi \cos \varpi }{1+\varpi ^{2}}}={\frac {\pi }{2c}}=\int {\frac {\varpi d\varpi \sin \varpi }{1+\varpi ^{2}}}.$

Nous observerons ici, comme dans les Mémoires cités, que $\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}$ étant égal à ${\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int \mathrm {Q} d\varpi ,$ on a, en substituant au lieu de $\int \mathrm {Q} d\varpi$ sa va-